Общий вид степенной функции. Степенная функция, ее свойства и графики
Для удобства рассмотрения степенной функции будем рассматривать 4 отдельных случая: степенная функция с натуральным показателем, степенная функция с целым показателем, степенная функция с рациональным показателем и степенная функция с иррациональным показателем.
Степенная функция с натуральным показателем
Для начала введем понятие степени с натуральным показателем.
Определение 1
Степенью действительного числа $a$ с натуральным показателем $n$ называется число, равное произведению $n$ множителей, каждый из которых равняется числу $a$.
Рисунок 1.
$a$ - основание степени.
$n$ - показатель степени.
Рассмотрим теперь степенную функцию с натуральным показателем, её свойства и график.
Определение 2
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ называется степенной функцией с натуральным показателем.
Для дальнейшего удобства рассмотрим отдельно степенную функцию с четным показателем $f\left(x\right)=x^{2n}$ и степенную функцию с нечетным показателем $f\left(x\right)=x^{2n-1}$ ($n\in N)$.
Свойства степенной функции с натуральным четным показателем
$f\left(-x\right)={(-x)}^{2n}=x^{2n}=f(x)$ -- функция четна.
Область значения -- $ \
Функция убывает, при $x\in (-\infty ,0)$ и возрастает, при $x\in (0,+\infty)$.
$f{""}\left(x\right)={\left(2n\cdot x^{2n-1}\right)}"=2n(2n-1)\cdot x^{2(n-1)}\ge 0$
Функция выпукла на всей области определения.
Поведение на концах области определения:
\[{\mathop{lim}_{x\to -\infty } x^{2n}\ }=+\infty \] \[{\mathop{lim}_{x\to +\infty } x^{2n}\ }=+\infty \]
График (рис. 2).
Рисунок 2. График функции $f\left(x\right)=x^{2n}$
Свойства степенной функции с натуральным нечетным показателем
Область определения -- все действительные числа.
$f\left(-x\right)={(-x)}^{2n-1}={-x}^{2n}=-f(x)$ -- функция нечетна.
$f(x)$ - непрерывна на всей области определения.
Область значения -- все действительные числа.
$f"\left(x\right)=\left(x^{2n-1}\right)"=(2n-1)\cdot x^{2(n-1)}\ge 0$
Функция возрастает на всей области определения.
$f\left(x\right)0$, при $x\in (0,+\infty)$.
$f{""\left(x\right)}={\left(\left(2n-1\right)\cdot x^{2\left(n-1\right)}\right)}"=2\left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^{2n-3}$
\ \
Функция вогнута, при $x\in (-\infty ,0)$ и выпукла, при $x\in (0,+\infty)$.
График (рис. 3).
Рисунок 3. График функции $f\left(x\right)=x^{2n-1}$
Степенная функция с целым показателем
Для начала введем понятие степени с целым показателем.
Определение 3
Степень действительного числа $a$ c целым показателем $n$ определяется формулой:
Рисунок 4.
Рассмотрим теперь степенную функцию с целым показателем, её свойства и график.
Определение 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ называется степенной функцией с целым показателем.
Если степень больше нуля, то мы приходим к случаю степенной функции с натуральным показателем. Его мы уже рассмотрели выше. При $n=0$ мы получим линейную функцию $y=1$. Её рассмотрение оставим читателю. Осталось рассмотреть свойства степенной функции с отрицательным целым показателем
Свойства степенной функции с отрицательным целым показателем
Область определения -- $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Если показатель четный, то функция четна, если нечетный, то функция нечетна.
$f(x)$ - непрерывна на всей области определения.
Область значения:
Если показатель четный, то $(0,+\infty)$, если нечетный, то $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
При нечетном показателе функция убывает, при $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. При четном показателе функция убывает при $x\in (0,+\infty)$. и возрастает, при $x\in \left(-\infty ,0\right)$.
$f(x)\ge 0$ на всей области определения
1. Степенная функция, ее свойства и график;
2. Преобразования:
Параллельный перенос;
Симметрия относительно осей координат;
Симметрия относительно начала координат;
Симметрия относительно прямой y = x;
Растяжение и сжатие вдоль осей координат.
3. Показательная функция, ее свойства и график, аналогичные преобразования;
4. Логарифмическая функция , ее свойства и график;
5. Тригонометрическая функция, ее свойства и график, аналогичные преобразования (y = sin x; y = cos x; y = tg x);
Функция: y = x\n - ее свойства и график.
Степенная функция, ее свойства и график
y = x, y = x 2 , y = x 3 , y = 1/x
и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции y = x p
, где p - заданное действительное число.
Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x
и p
имеет смысл степень x p
. Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от
показателя степени p.
- Показатель p = 2n - четное натуральное число.
y = x 2n , где n - натуральное число, обладает следующими свойствами:
- область определения - все действительные числа, т. е. множество R;
- множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
- функция y = x 2n четная, так как x 2n = (-x) 2n
- функция является убывающей на промежутке x < 0 и возрастающей на промежутке x > 0.
График функции y = x 2n имеет такой же вид, как например график функции y = x 4 .
2. Показатель p = 2n - 1 - нечетное натуральное число
В этом случае степенная функция y = x 2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:
- область определения - множество R;
- множество значений - множество R;
- функция y = x 2n-1 нечетная, так как (-x) 2n-1 = x 2n-1 ;
- функция является возрастающей на всей действительной оси.
График функции y = x 2n-1 y = x 3 .
3. Показатель p = -2n , где n - натуральное число.
В этом случае степенная функция y = x -2n = 1/x 2n обладает следующими свойствами:
- множество значений - положительные числа y>0;
- функция y = 1/x 2n четная, так как 1/(-x) 2n = 1/x 2n ;
- функция является возрастающей на промежутке x0.
График функции y = 1/x 2n имеет такой же вид, как, например, график функции y = 1/x 2 .
4. Показатель p = -(2n-1)
, где n
- натуральное число.
В этом случае степенная функция y = x -(2n-1)
обладает следующими свойствами:
- область определения - множество R, кроме x = 0;
- множество значений - множество R, кроме y = 0;
- функция y = x -(2n-1) нечетная, так как (-x) -(2n-1) = -x -(2n-1) ;
- функция является убывающей на промежутках x < 0 и x > 0 .
График функции y = x -(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y = 1/x 3 .
Приведены справочные данные по показательной функции - основные свойства, графики и формулы. Рассмотрены следующие вопросы: область определения, множество значений, монотонность, обратная функция, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.
Определение
Показательная функция
- это обобщение произведения n
чисел, равных a
:
y(n)
= a n = a·a·a···a
,
на множество действительных чисел x
:
y(x)
= a x
.
Здесь a
- фиксированное действительное число, которое называют основанием показательной функции
.
Показательную функцию с основанием a
также называют экспонентой по основанию a
.
Обобщение выполняется следующим образом.
При натуральном x = 1, 2, 3,...
,
показательная функция является произведением x
множителей:
.
При этом она обладает свойствами (1.5-8) (), которые следуют из правил умножения чисел. При нулевом и отрицательных значениях целых чисел ,
показательную функцию определяют по формулам (1.9-10). При дробных значениях x = m/n
рациональных чисел, ,
ее определяют по формуле(1.11). Для действительных ,
показательную функцию определяют как предел последовательности:
,
где - произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x
:
.
При таком определении, показательная функция определена для всех ,
и удовлетворяет свойствам (1.5-8), как и для натуральных x
.
Строгая математическая формулировка определения показательной функции и доказательство ее свойств приводится на странице «Определение и доказательство свойств показательной функции ».
Свойства показательной функции
Показательная функция y = a x
,
имеет следующие свойства на множестве действительных чисел ()
:
(1.1)
определена и непрерывна, при ,
для всех ;
(1.2)
при a ≠ 1
имеет множество значений ;
(1.3)
строго возрастает при ,
строго убывает при ,
является постоянной при ;
(1.4)
при ;
при ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Другие полезные формулы.
.
Формула преобразования к показательной функции с другим основанием степени:
При b = e
,
получаем выражение показательной функции через экспоненту:
Частные значения
, , , , .
На рисунке представлены графики показательной функции
y(x)
= a x
для четырех значений основания степени
: a = 2
,
a = 8
,
a = 1/2
и a = 1/8
.
Видно, что при a > 1
показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a
,
тем более сильный рост. При 0
< a < 1
показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a
,
тем более сильное убывание.
Возрастание, убывание
Показательная функция, при является строго монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.
| y = a x , a > 1 | y = a x , 0 < a < 1 | |
| Область определения | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Область значений | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Монотонность | монотонно возрастает | монотонно убывает |
| Нули, y = 0 | нет | нет |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 1 | y = 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Обратная функция
Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a .
Если ,
то
.
Если ,
то
.
Дифференцирование показательной функции
Для дифференцирования показательной функции, ее основание нужно привести к числу e , применить таблицу производных и правило дифференцирования сложной функции.
Для этого нужно использовать свойство логарифмов
и формулу из таблицы производных :
.
Пусть задана показательная функция:
.
Приводим ее к основанию e
:
Применим правило дифференцирования сложной функции . Для этого вводим переменную
Тогда
Из таблице производных имеем (заменим переменную x
на z
):
.
Поскольку - это постоянная, то производная z
по x
равна
.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.
Производная показательной функции
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Пример дифференцирования показательной функции
Найти производную функции
y = 3
5
x
Решение
Выразим основание показательной функции через число e
.
3
= e ln 3
Тогда
.
Вводим переменную
.
Тогда
Из таблицы производных находим:
.
Поскольку 5ln 3
- это постоянная, то производная z
по x
равна:
.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
.
Ответ
Интеграл
Выражения через комплексные числа
Рассмотрим функцию комплексного числа z
:
f(z)
= a z
где z = x + iy
;
i 2 = - 1
.
Выразим комплексную постоянную a
через модуль r
и аргумент φ
:
a = r e i φ
Тогда
.
Аргумент φ
определен не однозначно. В общем виде
φ = φ 0 + 2
πn
,
где n
- целое. Поэтому функция f(z)
также не однозначна. Часто рассматривают ее главное значение
.
Разложение в ряд
.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Функции у = ах, у = ax 2 , у = а/х - являются частными видами степенной функции при n = 1, n = 2, n = -1 .
В случае если n
дробное число p
/
q
с четным знаменателем q
и нечетным числителем р
, то величина 
может иметь два знака , а у графика появляется еще одна часть внизу оси абсцисс х
, причем она симметрична верхней части.
Видим график двузначной функции у = ±2х 1/2 , т. е. 
представленный параболой с горизонтальной осью.
Графики функций у = х n при n = -0,1; -1/3; -1/2; -1; -2; -3; -10 . Эти графики проходят через точку (1; 1).
Когда n = -1 получаем гиперболу . При n < - 1 график степенной функции располагается сначала выше гиперболы, т.е. между х = 0 и х = 1 , а потом ниже (при х > 1 ). Если n > -1 график проходит наоборот. Отрицательные значений х и дробные значения n аналогичны для положительных n .
Все графики неограниченно приближаются как к оси абсцисс х, так и к оси ординат у , не соприкасаясь с ними. Вследствие сходства с гиперболой эти графики называют гиперболами n -го порядка.
Напомним свойства и графики степенных функций с целым отрицательным показателем.
При четных n, :
Пример функции:
Все графики таких функций проходят через две фиксированные точки: (1;1), (-1;1). Особенность функций данного вида - их четность, графики симметричны относительно оси ОУ.
Рис. 1. График функции
При нечетных n, :
Пример функции:
Все графики таких функций проходят через две фиксированные точки: (1;1), (-1;-1). Особенность функций данного вида - их нечетность, графики симметричны относительно начала координат.
Рис. 2. График функции
Напомним основное определение.
Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем называется число .
Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем называется число .
Для выполняется равенство:
Например: 
; - выражение не существует по определению степени с отрицательным рациональным показателем; существует, т. к. показатель степени целый,
Перейдем к рассмотрению степенных функций с рациональным отрицательным показателем.
Например:
Для построения графика данной функции можно составить таблицу. Мы поступим иначе: сначала построим и изучим график знаменателя - он нам известен (рисунок 3).
Рис. 3. График функции
График функции знаменателя проходит через фиксированную точку (1;1). При построении графика исходной функции данная точка остается, при корень также стремится к нулю, функция стремится к бесконечности. И, наоборот, при стремлении х к бесконечности функция стремится к нулю (рисунок 4).
Рис. 4. График функции
Рассмотрим еще одну функцию из семейства изучаемых функций.
Важно, что по определению
Рассмотрим график функции, стоящей в знаменателе: , график данной функции нам известен, она возрастает на своей области определения и проходит через точку (1;1) (рисунок 5).
Рис. 5. График функции
При построении графика исходной функции точка (1;1) остается, при корень также стремится к нулю, функция стремится к бесконечности. И, наоборот, при стремлении х к бесконечности функция стремится к нулю (рисунок 6).
Рис. 6. График функции
Рассмотренные примеры помогают понять, каким образом проходит график и каковы свойства изучаемой функции - функции с отрицательным рациональным показателем.
Графики функций данного семейства проходят через точку (1;1), функция убывает на всей области определения.
Область определения функции: 
Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Функция непрерывна, принимает все положительные значения от нуля до плюс бесконечности.
Функция выпукла вниз (рисунок 15.7)
На кривой взяты точки А и В, через них проведен отрезок, вся кривая находится ниже отрезка, данное условие выполняется для произвольных двух точек на кривой, следовательно функция выпукла вниз. Рис. 7.
Рис. 7. Выпуклость функции
Важно понять, что функции данного семейства ограничены снизу нулем, но наименьшего значения не имеют.
Пример 1 - найти максимум и минимум функции на интервале }
