Как быстро посчитать корень из числа. Как быстро извлекать квадратные корни

Пришло время разобрать способы извлечения корней . Они базируются на свойствах корней , в частности, на равенстве , которое справедливо для любого неотрицательного числа b.

Ниже мы по очереди рассмотрим основные способы извлечения корней.

Начнем с самого простого случая – с извлечения корней из натуральных чисел с использованием таблицы квадратов, таблицы кубов и т.п.

Если же таблицы квадратов, кубов и т.п. нет под руками, то логично воспользоваться способом извлечения корня, который подразумевает разложение подкоренного числа на простые множители.

Отдельно стоит остановиться на , что возможно для корней с нечетными показателями.

Наконец, рассмотрим способ, позволяющий последовательно находить разряды значения корня.

Приступим.

Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.

В самых простых случаях извлекать корни позволяют таблицы квадратов, кубов и т.д. Что же представляют собой эти таблицы?

Таблица квадратов целых чисел от 0 до 99 включительно (она показана ниже) состоит из двух зон. Первая зона таблицы располагается на сером фоне, она с помощью выбора определенной строки и определенного столбца позволяет составить число от 0 до 99 . Для примера выберем строку 8 десятков и столбец 3 единицы, этим мы зафиксировали число 83 . Вторая зона занимает оставшуюся часть таблицы. Каждая ее ячейка находится на пересечении определенной строки и определенного столбца, и содержит квадрат соответствующего числа от 0 до 99 . На пересечении выбранной нами строки 8 десятков и столбца 3 единицы находится ячейка с числом 6 889 , которое является квадратом числа 83 .

Таблицы кубов, таблицы четвертых степеней чисел от 0 до 99 и так далее аналогичны таблице квадратов, только они во второй зоне содержат кубы, четвертые степени и т.д. соответствующих чисел.

Таблицы квадратов, кубов, четвертых степеней и т.д. позволяют извлекать квадратные корни, кубические корни, корни четвертой степени и т.д. соответственно из чисел, находящихся в этих таблицах. Объясним принцип их применения при извлечении корней.

Допустим, нам нужно извлечь корень n -ой степени из числа a , при этом число a содержится в таблице n -ых степеней. По этой таблице находим число b такое, что a=b n . Тогда , следовательно, число b будет искомым корнем n -ой степени.

В качестве примера покажем, как с помощью таблицы кубов извлекается кубический корень из 19 683 . Находим число 19 683 в таблице кубов, из нее находим, что это число является кубом числа 27 , следовательно, .

Понятно, что таблицы n -ых степеней очень удобны при извлечении корней. Однако их частенько не оказывается под руками, а их составление требует определенного времени. Более того, часто приходится извлекать корни из чисел, которые не содержатся в соответствующих таблицах. В этих случаях приходится прибегать к другим методам извлечения корней.

Разложение подкоренного числа на простые множители

Достаточно удобным способом, позволяющим провести извлечение корня из натурального числа (если конечно корень извлекается), является разложение подкоренного числа на простые множители. Его суть заключается в следующем : после его достаточно легко представить в виде степени с нужным показателем, что позволяет получить значение корня. Поясним этот момент.

Пусть из натурального числа a извлекается корень n -ой степени, и его значение равно b . В этом случае верно равенство a=b n . Число b как любое натуральное число можно представить в виде произведения всех своих простых множителей p 1 , p 2 , …, p m в виде p 1 ·p 2 ·…·p m , а подкоренное число a в этом случае представляется как (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Так как разложение числа на простые множители единственно, то разложение подкоренного числа a на простые множители будет иметь вид (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , что дает возможность вычислить значение корня как .

Заметим, что если разложение на простые множители подкоренного числа a не может быть представлено в виде (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , то корень n -ой степени из такого числа a нацело не извлекается.

Разберемся с этим при решении примеров.

Пример.

Извлеките квадратный корень из 144 .

Решение.

Если обратиться к таблице квадратов, данной в предыдущем пункте, то хорошо видно, что 144=12 2 , откуда понятно, что квадратный корень из 144 равен 12 .

Но в свете данного пункта нас интересует, как извлекается корень с помощью разложения подкоренного числа 144 на простые множители. Разберем этот способ решения.

Разложим 144 на простые множители:

То есть, 144=2·2·2·2·3·3 . На основании с полученным разложением можно провести такие преобразования: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2 ·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2 . Следовательно, .

Используя свойства степени и свойства корней , решение можно было оформить и немного иначе: .

Ответ:

Для закрепления материала рассмотрим решения еще двух примеров.

Пример.

Вычислите значение корня .

Решение.

Разложение на простые множители подкоренного числа 243 имеет вид 243=3 5 . Таким образом, .

Ответ:

Пример.

Является ли значение корня целым числом?

Решение.

Чтобы ответить на этот вопрос, разложим подкоренное число на простые множители и посмотрим, представимо ли оно в виде куба целого числа.

Имеем 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 . Полученное разложение не представляется в виде куба целого числа, так как степень простого множителя 7 не кратна трем. Следовательно, кубический корень из числа 285 768 не извлекается нацело.

Ответ:

Нет.

Извлечение корней из дробных чисел

Пришло время разобраться, как извлекается корень из дробного числа. Пусть дробное подкоренное число записано в виде как p/q . Согласно свойству корня из частного справедливо следующее равенство . Из этого равенства следует правило извлечения корня из дроби : корень из дроби равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя.

Разберем пример извлечения корня из дроби.

Пример.

Чему равен квадратный корень из обыкновенной дроби 25/169 .

Решение.

По таблице квадратов находим, что квадратный корень из числителя исходной дроби равен 5 , а квадратный корень из знаменателя равен 13 . Тогда . На этом извлечение корня из обыкновенной дроби 25/169 завершено.

Ответ:

Корень из десятичной дроби или смешанного числа извлекается после замены подкоренных чисел обыкновенными дробями.

Пример.

Извлеките кубический корень из десятичной дроби 474,552 .

Решение.

Представим исходную десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: 474,552=474552/1000 . Тогда . Осталось извлечь кубические корни, находящиеся в числителе и знаменателе полученной дроби. Так как 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13= (2·3·13) 3 =78 3 и 1 000=10 3 , то и . Осталось лишь завершить вычисления .

Ответ:

.

Извлечение корня из отрицательного числа

Отдельно стоит остановиться на извлечении корней из отрицательных чисел. При изучении корней мы сказали, что когда показатель корня является нечетным числом, то под знаком корня может находиться отрицательное число. Таким записям мы придали следующий смысл: для отрицательного числа −a и нечетного показателя корня 2·n−1 справедливо . Это равенство дает правило извлечения корней нечетной степени из отрицательных чисел : чтобы извлечь корень из отрицательного числа нужно извлечь корень из противоположного ему положительного числа, и перед полученным результатом поставить знак минус.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите значение корня .

Решение.

Преобразуем исходное выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительное число: . Теперь смешанное число заменим обыкновенной дробью: . Применяем правило извлечения корня из обыкновенной дроби: . Осталось вычислить корни в числителе и знаменателе полученной дроби: .

Приведем краткую запись решения: .

Ответ:

.

Порязрядное нахождение значения корня

В общем случае под корнем находится число, которое при помощи разобранных выше приемов не удается представить в виде n -ой степени какого-либо числа. Но при этом бывает необходимость знать значение данного корня, хотя бы с точностью до некоторого знака. В этом случае для извлечения корня можно воспользоваться алгоритмом, который позволяет последовательно получить достаточное количество значений разрядов искомого числа.

На первом шаге данного алгоритма нужно выяснить, каков старший разряд значения корня. Для этого последовательно возводятся в степень n числа 0, 10, 100, … до того момента, когда будет получено число, превосходящее подкоренное число. Тогда число, которое мы возводили в степень n на предыдущем этапе, укажет соответствующий старший разряд.

Для примера рассмотрим этот шаг алгоритма при извлечении квадратного корня из пяти. Берем числа 0, 10, 100, … и возводим их в квадрат, пока не получим число, превосходящее 5 . Имеем 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , значит, старшим разрядом будет разряд единиц. Значение этого разряда, а также более младших, будет найдено на следующих шагах алгоритма извлечения корня.

Все следующие шаги алгоритма имеют целью последовательное уточнение значения корня за счет того, что находятся значения следующих разрядов искомого значения корня, начиная со старшего и продвигаясь к младшим. К примеру, значение корня на первом шаге получается 2 , на втором – 2,2 , на третьем – 2,23 , и так далее 2,236067977… . Опишем, как происходит нахождение значений разрядов.

Нахождение разрядов проводится за счет перебора их возможных значений 0, 1, 2, …, 9 . При этом параллельно вычисляются n -ые степени соответствующих чисел, и они сравниваются с подкоренным числом. Если на каком-то этапе значение степени превзойдет подкоренное число, то значение разряда, соответствующее предыдущему значению, считается найденным, и производится переход к следующему шагу алгоритма извлечения корня, если же этого не происходит, то значение этого разряда равно 9 .

Поясним эти моменты все на том же примере извлечения квадратного корня из пяти.

Сначала находим значение разряда единиц. Будем перебирать значения 0, 1, 2, …, 9 , вычисляя соответственно 0 2 , 1 2 , …, 9 2 до того момента, пока не получим значение, большее подкоренного числа 5 . Все эти вычисления удобно представлять в виде таблицы:

Так значение разряда единиц равно 2 (так как 2 2 <5 , а 2 3 >5 ). Переходим к нахождению значения разряда десятых. При этом будем возводить в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, …, 2,9 , сравнивая полученные значения с подкоренным числом 5 :

Так как 2,2 2 <5 , а 2,3 2 >5 , то значение разряда десятых равно 2 . Можно переходить к нахождению значения разряда сотых:

Так найдено следующее значение корня из пяти, оно равно 2,23 . И так можно продолжать дальше находить значения : 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Для закрепления материала разберем извлечение корня с точностью до сотых при помощи рассмотренного алгоритма.

Сначала определяем старший разряд. Для этого возводим в куб числа 0, 10, 100 и т.д. пока не получим число, превосходящее 2 151,186 . Имеем 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , таким образом, старшим разрядом является разряд десятков.

Определим его значение.

Так как 10 3 <2 151,186 , а 20 3 >2 151,186 , то значение разряда десятков равно 1 . Переходим к единицам.

Таким образом, значение разряда единиц равно 2 . Переходим к десятым.

Так как даже 12,9 3 меньше подкоренного числа 2 151,186 , то значение разряда десятых равно 9 . Осталось выполнить последний шаг алгоритма, он нам даст значение корня с требуемой точностью.

На этом этапе найдено значение корня с точностью до сотых: .

В заключение этой статьи хочется сказать, что существует масса других способов извлечения корней. Но для большинства задач достаточно тех, которые мы изучили выше.

Список литературы.

• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Что такое квадратный корень?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Это понятие очень простое. Естественное, я бы сказал. Математики на каждое действие стараются найти противодействие. Есть сложение - есть и вычитание. Есть умножение - есть и деление. Есть возведение в квадрат... Значит есть и извлечение квадратного корня! Вот и всё. Это действие (извлечение квадратного корня ) в математике обозначается вот таким значком:

Сам значок называется красивым словом "радикал ".

Как извлечь корень? Это лучше рассмотреть на примерах .

Сколько будет квадратный корень из 9? А какое число в квадрате даст нам 9? 3 в квадрате даст нам 9! Т.е:

А вот сколько будет квадратный корень из нуля? Не вопрос! Какое число в квадрате ноль даёт? Да сам же ноль и даёт! Значит:

Уловили, что такое квадратный корень? Тогда считаем примеры :

Ответы (в беспорядке): 6; 1; 4; 9; 5.

Решили? Действительно, уж куда проще-то?!

Но... Что делает человек, когда видит какое-нибудь задание с корнями?

Тосковать начинает человек... Не верит он в простоту и лёгкость корней. Хотя, вроде, и знает, что такое квадратный корень ...

Всё потому, что человек проигнорировал несколько важных пунктиков при изучении корней. Потом эти пунктики жестоко мстят на контрольных и экзаменах...

Пунктик первый. Корни надо узнавать в лицо!

Сколько будет корень квадратный из 49? Семь? Верно! А как вы узнали, что семь? Возвели семёрку в квадрат и получили 49? Правильно! Обратите внимание, чтобы извлечь корень из 49 нам пришлось проделать обратную операцию - возвести 7 в квадрат! И убедиться, что мы не промахнулись. А могли и промахнуться...

В этом и есть сложность извлечения корней . Возвести в квадрат можно любое число без особых проблем. Умножить число само на себя столбиком - да и все дела. А вот для извлечения корня такой простой и безотказной технологии нет. Приходится подбирать ответ и проверять его на попадание возведением в квадрат.

Этот сложный творческий процесс - подбор ответа - сильно упрощается, если вы помните квадраты популярных чисел. Как таблицу умножения. Если, скажем, надо умножить 4 на 6 - вы же не складываете четверку 6 раз? Сразу выплывает ответ 24. Хотя, не у всех он выплывает, да...

Для свободной и успешной работы с корнями достаточно знать квадраты чисел от 1 до 20. Причём туда и обратно. Т.е. вы должны легко называть как, скажем, 11 в квадрате, так и корень квадратный из 121. Чтобы добиться такого запоминания, есть два пути. Первый - выучить таблицу квадратов. Это здорово поможет решать примеры. Второй - решать побольше примеров. Это здорово поможет запомнить таблицу квадратов.

И никаких калькуляторов! Только для проверки. Иначе на экзамене будете тормозить нещадно...

Итак, что такое квадратный корень и как извлекать корни - думаю, понятно. Теперь выясним ИЗ ЧЕГО можно их извлекать.

Пунктик второй. Корень, я тебя не знаю!

Из каких чисел можно извлекать квадратные корни? Да почти из любых. Проще понять, из чего нельзя их извлекать.

Попробуем вычислить вот такой корень:

Для этого нужно подобрать число, которое в квадрате даст нам -4. Подбираем.

Что, не подбирается? 2 2 даёт +4. (-2) 2 даёт опять +4! Вот-вот... Нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дадут нам отрицательное число! Хотя я такие числа знаю. Но вам не скажу). Поступите в институт - сами узнаете.

Такая же история будет с любым отрицательным числом. Отсюда вывод:

Выражение, в котором под знаком квадратного корня стоит отрицательное число - не имеет смысла ! Это запретная операция. Такая же запретная, как и деление на ноль. Запомните этот факт железно! Или, другими словами:

Квадратные корни из отрицательных чисел извлечь нельзя!

Зато из всех остальных - можно. Например, вполне можно вычислить

На первый взгляд это очень сложно. Подбирать дроби, да в квадрат возводить... Не волнуйтесь. Когда разберёмся со свойствами корней, такие примеры будут сводиться к всё той же таблице квадратов. Жизнь станет проще!

Ну ладно дроби. Но нам ведь ещё попадаются выражения типа:

Ничего страшного. Всё то же самое. Корень квадратный из двух - это число, которое при возведении в квадрат даст нам двойку. Только число это совсем неровное... Вот оно:

Что интересно, эта дробь не кончается никогда... Такие числа называются иррациональными. В квадратных корнях это - самое обычное дело. Кстати, именно поэтому выражения с корнями называют иррациональными . Понятно, что писать всё время такую бесконечную дробь неудобно. Поэтому вместо бесконечной дроби так и оставляют:

Если при решении примера у вас получилось что-то неизвлекаемое, типа:

то так и оставляем. Это и будет ответ.

Нужно чётко понимать, что под значками

Конечно, если корень из числа извлекается ровно , вы обязаны это сделать. Ответ задания в виде, например

вполне себе полноценный ответ.

И, конечно, надо знать на память приблизительные значения:

Это знание здорово помогает оценить ситуацию в сложных заданиях.

Пунктик третий. Самый хитрый.

Основную путаницу в работу с корнями вносит как раз этот пунктик. Именно он придаёт неуверенность в собственных силах... Разберёмся с этим пунктиком как следует!

Для начала опять извлечём квадратный корень их четырёх. Что, уже достал я вас с этим корнем?) Ничего, сейчас интересно будет!

Какое число даст в квадрате 4? Ну два, два - слышу недовольные ответы...

Верно. Два. Но ведь и минус два даст в квадрате 4... А между тем, ответ

правильный, а ответ

грубейшая ошибка. Вот так.

Так в чём же дело?

Действительно, (-2) 2 = 4. И под определение корня квадратного из четырёх минус два вполне подходит... Это тоже корень квадратный из четырёх.

Но! В школьном курсе математики принято считать за квадратные корни только неотрицательные числа! Т.е ноль и все положительные. Даже термин специальный придуман: из числа а - это неотрицательное число, квадрат которого равен а . Отрицательные результаты при извлечении арифметического квадратного корня попросту отбрасываются. В школе все квадратные корни - арифметические . Хотя особо об этом не упоминается.

Ну ладно, это понятно. Это даже и лучше - не возиться с отрицательными результатами... Это ещё не путаница.

Путаница начинается при решении квадратных уравнений. Например, надо решить вот такое уравнение.

Уравнение простое, пишем ответ (как учили):

Такой ответ (совершенно правильный, кстати) - это просто сокращённая запись двух ответов:

Стоп-стоп! Чуть выше я написал, что квадратный корень - число всегда неотрицательное! А здесь один из ответов - отрицательный ! Непорядок. Это первая (но не последняя) проблемка, которая вызывает недоверие к корням... Решим эту проблемку. Запишем ответы (чисто для понимания!) вот так:

Скобки сути ответа не меняют. Просто я отделил скобками знаки от корня . Теперь наглядно видно, что сам корень (в скобках) - число всё равно неотрицательное! А знаки - это результат решения уравнения . Ведь при решении любого уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат. В наше уравнение подходит корень из пяти (положительный!) как с плюсом, так и с минусом.

Вот так. Если вы просто извлекаете квадратный корень из чего-либо, вы всегда получаете один неотрицательный результат. Например:

Потому, что это - арифметический квадратный корень .

Но если вы решаете какое-нибудь квадратное уравнение, типа:

то всегда получается два ответа (с плюсом и минусом):

Потому, что это - решение уравнения.

Надеюсь, что такое квадратный корень со своими пунктиками вы уяснили. Теперь осталось узнать, что можно делать с корнями, каковы их свойства. И какие там пунктики и подводные кор... извините, камни!)

Всё это - в следующих уроках.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Желательно инженерный – такой, в котором имеется кнопочка со знаком корня: «√». Обычно для извлечения корня достаточно набрать само число, а потом нажать на кнопку: «√».

В большинстве современных мобильных телефонов имеется приложение «калькулятор» с функцией извлечения корня. Порядок нахождения корня числа с помощью телефонного калькулятора аналогичен вышеизложенному.
Пример.
Найти из 2.
Включаем калькулятор (если он выключен) и последовательно нажимаем кнопки с изображением двойки и корня («2» «√»). Нажимать на клавишу «=», как правило, не нужно. В результате получаем число типа 1,4142 (количество знаков и «округленность» зависит от разрядности и настроек калькулятора).
Примечание: при попытке найти корень калькулятор обычно выдает об ошибке.

Если есть доступ к компьютеру, то найти корень числа очень просто.
1. Можно воспользоваться приложением «Калькулятор», имеющемся практически на любом компьютере. Для Windows ХР эту программу можно запустить следующим образом:
«Пуск» - «Все программы» - «Стандартные» - «Калькулятор».
Вид лучше установить «обычный». Кстати, в отличие от реального калькулятора кнопка для извлечения корня помечена как «sqrt», а не «√».

Если добраться до калькулятора указанным способом не , то можно запустить стандартный калькулятор «вручную»:
«Пуск» - «Выполнить» - «calc».
2. Для нахождения корня числа можно также воспользоваться некоторыми программами, установленными на компьютере. Кроме того, программы собственный встроенный калькулятор.

Например, для приложения MS Excel можно проделать следующую последовательность действий:
Запускаем MS Excel.

Записываем в любую клетку число, из которого нужно извлечь корень.

Помещаем указатель клетки на другое место

Нажимаем кнопочку выбора функции (fx)

Выбираем функцию «КОРЕНЬ»

В качестве аргумента функции указываем клетку с числом

Нажимаем «ОК» или «Еnter»
Преимуществом данного способа является то, что теперь достаточно ввести в клетку с числом любое значение, как в с функцией тут же появляется .
Примечание.
Имеется несколько других, более экзотических способа найти корень числа. Например, «уголком», с помощью логарифмической линейки или таблиц Брадиса. Однако, в этой статье эти методы не рассматриваются ввиду их сложности и практической бесполезности.

Видео по теме

Источники:

• как находить корень числа

Иногда возникают ситуации, когда приходится выполнять какие-либо математические вычисления, в том числе извлекать корни квадратные и корни большей степени из числа. Корень степени "n" из числа "a" представляет собой число, n-я степень которого и есть число "a".

Инструкция

Чтобы найти корень "n" из , сделайте следующее.

Нажмите на своем компьютере «Пуск» - «Все программы» - «Стандартные». Затем войдите в подраздел «Служебные» и выберите «Калькулятор». Можете сделать это вручную: нажмите «Пуск», введите «calk» в строку «выполнить» и нажмите «Enter». Откроется . Для извлечения корня квадратного из какого-либо числа, введите это в строку калькулятора и нажмите кнопку с надписью «sqrt». Калькулятор произведет извлечение из введенного числа корня второй степени, называемого квадратным.

Для того чтобы извлечь корень, степень которого выше второй, нужно воспользоваться другим видом калькулятора. Для этого в интерфейсе калькулятора нажмите кнопку «Вид» и в меню выберите строку «Инженерный» или «Научный». Этот вид калькулятора имеет необходимую для вычисления корня n-й степени функцию.

Для извлечения корня третьей степени (), на «инженерном» калькуляторе наберите нужное число и нажмите кнопку «3√». Для получения корня, степень которого выше 3-й, наберите нужное число, нажмите кнопку со значком «y√x» и затем введите число – показатель степени. После этого нажмите знак равенства (кнопка «=») и вы получите искомый корень.

Если на вашем калькуляторе отсутствует функция «y√x», следующее.

Для извлечения кубического корня введите подкоренное выражение, потом поставьте в чек боксе, который расположен рядом с надписью «Inv», отметку. Этим действием вы переведете функции кнопок калькулятора на обратные, т.е., щелкнув по кнопке для возведения в куб, вы произведете извлечение корня кубического. На кнопке, которая вам

Глава первая.

Извлечение из данного целого числа наибольшего целого квадратного корня.

170. Предварительные замечания.

а) Так как мы будем говорить об извлечении только квадратного корня, то для сокращения речи в этой главе мы вместо „квадратный" корень будем говорить просто „корень".

б) Если возвысим в квадрат числа натурального ряда: 1,2,3,4,5 . . . , то получим такую таблицу квадратов: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Очевидно, имеется очень многo целых чисел, которые в этой таблице не находятся; из таких чисел, конечно, нельзя извлечь целый корень. Поэтому, если требуется извлечь корень из какого-нибудь целого числа, напр. требуется найти √4082 , то мы условимся это требование понимать так: извлечь целый корень из 4082, если это возможно; если же нельзя, то мы должны найти наибольшее целое число, квадрат которого заключается в 4082 (такое число есть 63, так как 63 2 = 39б9, а 64 2 = 4090).

в) Если данное число меньше 100, то корень из него находится по таблице умножения; так, √60 будет 7, так как семью 7 равно 49, что меньше 60, а восемью 8 составляет 64, что больше 60.

171. Извлечение корня из числа, меньшего 10000, но большего 100. Пусть надо найти √4082 . Так как это число меньше 10 000, то корень из него меньше √l0 000 = 100. С другой стороны, данное число больше 100; значит, корень из него больше (или равен 10) . (Если бы, напр., требовалось найти √ 120 , то хотя число 120 > 100, однако √ 120 равен 10, т.к. 11 2 = 121.) Но всякое число, которое больше 10, но меньше 100, имеет 2 цифры; значит, искомый корень есть сумма:

десятки + единицы,

и поэтому квадрат его должен равняться сумме:

Сумма эта должна быть наибольшим квадратом, заключающимся в 4082.

Возьмем из них наибольший, 36, и допустим,что квадрат десятков корня будет равен именно этому наибольшему квадрату. Тогда число десятков в корне должно быть 6. Проверим теперь, что это всегда должно быть так, т. е. всегда число десятков корня равно наибольшему целому корню из числа сотен подкоренного числа.

Действительно, в нашем примере число десятков корня не может быть больше 6, так как (7 дес.) 2 = 49 сотен, что превосходит 4082. Но оно не может быть и меньше 6, так как 5 дес. (с единицами) меньше 6 дес, а между тем (6 дес.) 2 = 36 сотен, что меньше 4082. А так как мы ищем наибольший целый корень, то мы не должны брать для корня 5 дес, когда и 6 десятков оказывается не много.

Итак, мы нашли число десятков корня, именно 6. Пишем эту цифру направо от знака =, запомнив, что она означает десятки корня. Возвысив ее в квадрат, получим 36 сотен. Вычитаем эти 36 сотен из 40 сотен подкоренного числа и сносим две остальные цифры данного числа. В остатке 482 должны содержаться 2 (6 дес.) (ед.) + (ед.)2. Произведение (6 дес.) (ед.) должно составлять десятки; поэтому удвоенное произведение десятков на единицы надо искать в десятках остатка, т. е. в 48 (мы получим число их, отделив в остатке 48"2 одну цифру справа). Удвоенные десятки корня составляют 12. Значит, если 12 умножим на единицы корня (которые пока неизвестны), то мы должны получить число, содержащееся в 48. Поэтому мы разделим 48 на 12.

Для этого налево от остатка проводим вертикальную черту и за нею (отступив от черты на одно место влево для цели, которая сейчас обнаружится) напишем удвоенную первую цифру корня, т. е. 12, и на нее разделим 48. В частном получим 4.

Однако, заранее нельзя ручаться, что цифру 4 можно принять за единицы корня, так как мы сейчас разделили на 12 все число десятков остатка, тогда как некоторая часть из них может и не принадлежать удвоенному произведению десятков на единицы, а входит в состав квадрата единиц. Поэтому цифра 4 может оказаться велика. Надо ее испытать . Она, очевидно, годится в том случае, если сумма 2 (6 дес.) 4 + 4 2 окажется не больше остатка 482.

В результате получаем сразу сумму того и другого. Полученное произведение оказалось 496, что больше остатка 482; значит, цифра 4 велика. Тогда испытаем таким же образом следующую меньшую цифру 3.

Примеры.

В примере 4-м при делении 47 десятков остатка на 4, мы получаем в частном 11. Но так как цифра единиц корня не может быть двузначным числом 11 или 10, то надо прямо испытать цифру 9.

В примере 5-м после вычитания из первой грани квадрата 8 остаток оказывается 0, и следующая грань тоже состоит из нулей. Это показывает, что искомый корень состоит только из 8 десятков, и потому на место единиц надо поставить нуль.

172. Извлечение корня из числа, большего 10000 . Пусть требуется найти √35782 . Так как подкоренное число превосходит 10 000, то корень из него больше √10000 = 100 и, следовательно, он состоит из 3 цифр или более. Из скольких бы цифр он ни состоял, мы можем его всегда рассматривать как сумму только десятков и единиц. Если, напр., корень оказался бы 482, то мы можем его считать за сумму 48 дес. + 2 ед. Тогда квадрат корня будет состоять из 3 слагаемых:

(дес.) 2 + 2 (дес.) (ед.) + (ед.) 2 .

Теперь мы можем рассуждать совершенно так же, как и при нахождении √4082 (в предыдущем параграфе). Разница будет только та, что для нахождения десятков корня из 4082 мы должны были извлечь корень из 40, и это можно было сделать по таблице умножения; теперь же для получения десятков√35782 нам придется извлечь корень из 357, что по таблице умножения нельзя выполнить. Но мы можем найти√357 тем приемом, который был описан в предыдущем параграфе, так как число 357 < 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Далее поступаем так, как мы поступали при нахождении √4082 , a именно: налево от остатка 3382 проводим вертикальную черту и за нею пишем (отступив от черты на одно место) удвоенное число найденных десятков корня, т. е. 36 (дважды 18). В остатке отделяем одну цифру справа и делим число десятков остатка, т. е. 338, на 36. В частном получаем 9. Эту цифру испытываем, для чего ее приписываем к 36 справа и на нее же умножаем. Произведение оказалось 3321, что меньше остатка. Значит, цифра 9 годится, пишем ее в корне.

Вообще, чтобы извлечь квадратный корень из какого угодно целого числа, надо сначала извлечь корень из числа его сотен; если это число более 100, то придется искать корень из числа сотен этих сотен, т. е. из десятков тысяч данного числа; если и это число более 100, придется извлекать корень из числа сотен десятков тысяч, т. е. из миллионов данного числа, и т. д.

Примеры.

В последнем примере, найдя первую цифру и вычтя квадрат ее, получаем в остатке 0. Сносим следующие 2 цифры 51. Отделив десятки, мы получаем 5 дес, тогда как удвоенная найденная цифра корня есть 6. Значит, от деления 5 на 6 мы получаем 0. Ставим в корне 0 на втором месте и к остатку сносим следующие 2 цифры; получаем 5110. Далее продолжаем как обыкновенно.

В этом примере искомый корень состоит только из 9 сотен, и потому на месте десятков и на месте единиц надо поставить нули.

Правило. Чтобы, извлечь квадратный корень из данною целого числа, разбивают его, от правой руки к левой, на грани, по 2 цифры в каждой, кроме последней, в которой может быть и одна цифра.
Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из первой грани.
Чтобы найти вторую цифру, из первой грани вычитают квадрат первой цифры корня, к остатку сносят вторую грань и число десятков получившегося числа делят на удвоенную первую цифру корня; полученное целое число подвергают испытанию.
Испытание это производится так: за вертикальной чертой (налево от остатка) пишут удвоенное ранее найденное число корня и к нему, с правой стороны, приписывают испытуемую цифру, получившееся, после этой приписки число умножают на испытуемую цифру. Если после умножения получится число, большее остатка, то испытуемая цифра не годится и надо испытать следующую меньшую цифру.
Следующие, цифры корня находятся по тому же приему.
Если после снесения грани число десятков получившегося числа окажется меньше делителя, т. е. меньше удвоенной найденной части корня, то в корне ставят 0, сносят следующую грань и продолжают действие дальше.

173. Число цифр корня. Из рассмотрения процесса нахождения корня следует, что в корне столько цифр, сколько в подкоренном числе заключается граней по 2 цифры каждая (в левой грани может быть и одна цифра).

Глава вторая.

Извлечение приближенных квадратных корней из целых и дробных чисел .

Извлечение квадратного корня из многочленов см. в дополнениях ко 2-й части § 399 и след.

174. Признаки точного квадратного корня. Точным квадратным корнем из данного числа называется такое число, квадрат которого в точности равняется данному числу. Укажем некоторые признаки, по которым можно судить, извлекается ли из данного числа точный корень, или нет:

а) Если из данного целого числа не извлекается точный целый корень (получается при извлечении остаток), то из такого числа нельзя найти и дробный точный корень, так как всякая дробь, не равная целому числу, будучи умножена сама на себя, дает в произведении тоже дробь, а не целое число.

б) Так как корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя, то точный корень из несократимой дроби не может быть найден в том случае, если его нельзя извлечь из числителя или из знаменателя. Напр, из дробей 4 / 5 , 8 / 9 и 11 / 15 нельзя извлечь точный корень, так как в первой дроби нельзя его извлечь из знаменателя, во второй - из числителя и в третьей - ни из числителя, ни из знаменателя.

Из таких чисел, из которых нельзя извлечь точный корень, можно извлекать лишь приближенные корни.

175. Приближенный корень с точностью до 1 . Приближенным квадратным корнем с точностью до 1 из данного числа (целого или дробного - все равно) называется такое целое число, которое удовлетворяет следующим двум требованиям:

1) квадрат этого числа не больше данного числа; 2) но квадрат этого числа увеличенного на 1, больше данного числа. Другими словами, приближенным квадратным корнем с точностью до 1 называется наибольший целый квадратный корень из данного числа, т. е.тот корень, который мы научились находить в предыдущей главе. Корень этот называется приближенным с точностью до 1, потому что для получения точного корня к этому приближенному корню надо было бы добавить еще некоторую дробь, меньшую 1, так что если вместо неизвестного точного корня мы возьмем этот приближенный, то сделаем ошибку, меньшую 1.

Правило. Чтобы извлечь приближенный квадратный корень с точностью до 1, надо извлечь наибольший целый корень из целой части данного числа.

Найденное по этому правилу число есть приближенный корень с недостатком , так как в нем недостает до точного корня некоторой дроби (меньшей 1). Если этот корень увеличим на 1, то получим другое число, в котором есть некоторый избыток над точным корнем, и избыток этот меньше 1. Этот увеличенный на 1 корень можно назвать тоже приближенным корнем с точностью до 1, но с избытком. (Названия: „с недостатком" или „с избытком" в некоторых математических книгах заменены другими равносильными: „по недостатку" или „по избытку".)

176. Приближенный корень с точностью до 1 / 10 . Пусть требуется найти √2,35104 с точностью до 1 / 10 . Это значит, что требуется найти такую десятичную дробь, которая состояла бы из целых единиц и десятых долей и которая удовлетворяла бы двум следующим требованиям:

1) квадрат этой дроби не превосходит 2,35104, но 2) если увеличим ее на 1 / 10 , то квадрат этой увеличенной дроби превосходит 2,35104.

Чтобы найти такую дробь, мы сначала нaйдем приближенный корень с точностью до 1, т. е. извлечем корень только из целого числа 2. Получим 1 (и в остатке 1). Пишем в корне цифру1 и ставим после нее запятую. Теперь будем искать цифру десятых. Для этого сносим к остатку 1 цифры 35, стоящие направо от запятой, и продолжаем извлечениетак, как будто мы извлекали корень из целого числа 235. Полученную цифру 5 пишем в корне на месте десятых. Остальные цифры подкоренного числа (104) нам не нужны. Что полученное число 1,5 будет действительно приближенный корень с точностью до 1 / 10 видно из следующего. Если бы мы находили наибольший целый корень из 235 с точностью до 1, то получили бы 15. Значит:

15 2 < 235, но 16 2 >235.

Разделив все эти числа на 100, получим:

Значит, число 1,5 есть та десятичная дробь, которую мы назвали приближенным корнем с точностью до 1 / 10 .

Найдем еще этим приемом следующие приближенные корни с точностью до 0,1:

177. Приближенный квадратный корень с точностью до 1 / 100 до 1 / 1000 и т. д.

Пусть требуется найти с точностью до 1 / 100 приближенный √248 . Это значит: найти такую десятичную дробь, которая состояла бы из целых, десятых и сотых долей и которая удовлетворяла бы двум требованиям:

1) квадрат ее не превосходит 248, но 2) если увеличим эту дробь на 1 / 100 то квадрат этой увеличенной дроби превосходит 248.

Такую дробь мы найдем в такой последовательности: сначала отыщем целое число, потом цифру десятых, затем и цифру сотых. Корень из целого числа будет 15 целых. Чтобы получить цифру десятых, надо как мы видели, снести к остатку 23 еще 2 цифры, стоящие направо от запятой. В нашем примере этих цифр нет вовсе, ставим на их место нули. Приписав их к остатку и продолжая действие так, как будто находим корень из целого числа 24 800, мы найдем цифру десятых 7. Остается найти цифру сотых. Для этого приписываем к остатку 151 еще 2 нуля и продолжаем извлечение, как будто мы находим корень из целого числа 2 480 000. Получаем 15,74. Что это число действительно есть приближенный корень из 248 с точностью до 1 / 100 видно из следующего. Если бы мы находили наибольший целый квадратный корень из целого числа 2 480 000, то получили бы 1574; значит:

1574 2 < 2 480 000, но 1575 2 > 2 480 000.

Разделив все числа на 10 000 (= 100 2), получим:

Значит, 15,74 есть та десятичная дробь, которую мы назвали приближенным корнем с точностью до 1 / 100 из 248.

Применяя этот прием к нахождению приближенного корня с точностью до 1 / 1000 до 1 / 10000 и т. д. найдем следующее.

Правило. Чтобы извлечь из данного целою числа или из данной десятичной дроби приближенный корень с точностью до 1 / 10 до 1 / 100 до 1 / 100 и т. д., находят сначала приближенный корень с точностью до 1, извлекая корень из целого числа (если его нет, пишут о корне 0 целых).

Потом находят цифру десятых. Для этого к остатку сносят,2 цифры подкоренного числа, стоящие направо от запятой (если их нет, приписывают к остатку два нуля), и продолжают извлечение так, как это делается при извлечении корня из целого числа. Полученную цифру пишут в корне на месте десятых.

Затем находят цифру сотых. Для этого к остатку сносят снова две цифры, стоящие направо от тех, которые были только что снесены, и т. д.

Таким образом, при извлечении корня из целого числа с десятичной дробью, надо делить на грани по 2 цифры в каждой, начиная от запятой, как влево (в целой части числа), так и вправо, (в дробной части).

Примеры.

1) Найти до 1 / 100 корни: а) √2 ; б) √0,3 ;

В последнем примере мы обратили дробь 3 / 7 в десятичную, вычислив 8 десятичных знаков, чтобы образовались 4 грани, потребные для нахождения 4 десятичных знаков корня.

178. Описание таблицы квадратных корней. В конце этой книги приложена таблица квадратных корней, вычисленных с четырьмя цифрами. По этой таблице можно быстро находить квадратный корень из целого числа (или десятичной дроби), которое выражено не более, чем четырьмя цифрами. Прежде чем объяснить, как эта таблица устроена, заметим, что первую значащую цифру искомого корня мы всегда можем найти без помощи таблиц по одному взгляду на подкоренное число; мы легко также определим, какой десятичный разряд означает первая цифра корня и, следовательно, где в корне, когда найдем его цифры, надо поставить запятую. Приведем несколько примеров:

1) √5"27,3 . Первая цифра будет 2, так как левая грань подкоренного числа есть 5; а корень из 5 равен 2. Кроме того, так как в целой части подкоренного числа всех граней только 2, то в целой части искомого корня должно быть 2 цифры и, следовательно, первая его цифра 2 должна означать десятки.

2) √9,041 . Очевидно, в этом корне первая цифра будет 3 простые единицы .

3) √0,00"83"4 . Первая значащая цифра есть 9, так как грань, из которой пришлось бы извлекать корень для получения первой значащей цифры, есть 83, а корень из 83 равен 9. Так как в искомом числе не будет ни целых, ни десятых, то первая цифра 9 должна означать сотые.

4) √0,73"85 . Первая значащая цифра есть 8 десятых .

5) √0,00"00"35"7 . Первая значащая цифра будет 5 тысячных .

Сделаем еще одно замечание. Положим, что требуется извлечь корень из такого числа, которое, после отбрасывания в нем занятой, изображается рядом таких цифр: 5681. Корень этот может быть один из слелуюших:

Если возьмем корни, подчеркнутые нами одной чертою, то все они будут выражены одним и тем же рядом цифр, именно теми цифрами, которые получаются при извлечении корня из 5681 (это будут цифры 7, 5, 3, 7). Причина этому та, что грани, на которые приходится разбивать подкоренное число при нахождении цифр корня, будут во всех этих примерах одни и те же, поэтому и цифры для каждого корня окажутся одинаковые (только положение запятой будет, конечно, различное). Точно так же во всех корнях, подчеркнутых нами двумя чертами, должны получиться одинаковые цифры, именно те, которыми выражается √568,1 (эти цифры будут 2, 3, 8, 3), и по той же причине. Таким образом, цифры корней из чисел, изображаемых (по отбрасывании запятой) одним и тем же рядом цифр 5681, будут двоякого (и только двоякого) рода: либо это ряд 7, 5, 3, 7, либо ряд 2, 3, 8, 3. То же самое, очевидно, может быть сказано о всяком другом ряде цифр. Поэтому, как мы сейчас увидим, в таблице каждому ряду цифр подкоренного числа соответствуют 2 ряда цифр для корней.

Теперь мы можем объяснить устройство таблицы и способ ее пользования. Для ясности объяснения мы изобразили здесь начало первой страницы таблицы.

Таблица эта расположена на нескольких страницах. На каждой из них в первой слева колонке помещены числа 10, 11, 12... (до 99). Эти числа выражают первые 2 цифры числа, из которого ищется квадратный корень. В верхней горизонтальной строчке (а также и в нижней) размещены числа: 0, 1, 2, 3... 9, представляющие собою 3-ю цифру данного числа, а затем далее направо помещены цифры 1, 2, 3 . . . 9, представляющие собою4-ю цифру данного числа. Во всех других горизонтальных строчках помещены по 2 четырехзначных числа, выражающие квадратные корни из соответствующих чисел.

Пусть требуется найти квадратный корень из какого-нибудь числа, целого или выраженного десятичною дробью. Прежде всего находим без помощи таблиц первую цифру корня и ее разряд. Затем отбросим в данном числе запятую, если она есть. Положим сначала, что после отбрасывания запятой останутся только 3 цифры, напр. 114. Находим в таблицах в левой крайней колонке первые 2 цифры, т. е. 11, и продвигаемся от них направо по горизонтальной строке до тех пор, пока не дойдем до вертикальной колонки, наверху (и внизу) которой стоит 3-я цифра числа, т. е. 4. В этом месте мы находим два четырехзначных числа: 1068 и 3376. Которое из этих двух чисел надо взять и где поставить в нем запятую, это определяется первою цифрою корня и ее разрядом, которые мы нашли раньше. Так, если надо найти √0,11"4 , то первая цифра корня есть 3 десятых, и потому мы должны взять для корня 0,3376. Если бы требовалось найти √1,14 , то первая цифра корня была бы 1, и мы взяли бы тогда 1,068.

Таким образом мы легко найдем:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571 и т.п.

Положим теперь, что требуется найти корень из числа, выраженного (по отбрасывании запятой) 4 цифрами, напр.√7"45,6 . Заметив, что первая цифра корня есть 2 десятка, находим для числа 745 так, как сейчас было объяснено, цифры 2729 (это число только замечаем пальцем, но его не записываем). Потом продвигаемся от этого числа еще направо до тех пор, пока в правой части таблицы (за последнею жирною чертою) не встретим ту вертикальную колонку, которая отмечена наверху (и внизу) 4-й цифрой данного числа, т. е. цифрой 6, и находим там число 1. Это будет поправка, которую надо приложить (в уме) к ранее найденному числу 2729; получим 2730. Это число записываем и ставим в нем запятую на надлежащем месте: 27,30.

Таким путем найдем, напр:

√44,37 = 6,661; √4,437 = 2,107; √0,04"437 =0,2107 и т.д.

Если подкоренное число выражается только одной или двумя цифрами, то мы можем предположить, что после этих цифр стоит один или два нуля, и затем поступать так, как было объяснено для трехзначного числа. Напр.√2,7 =√2,70 =1,643; √0,13 = √0,13"0 = 0,3606 и т.п..

Наконец, если подкоренное число выражено более, чем 4 цифрами, то из них мы возьмем только первые 4, а остальные отбросим, причем для уменьшения ошибки, если первая из отбрасцваемых цифр есть 5 или более 5, то мы увеличим на l четвертую из удержанных цифр. Так:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; и т.п.

Замечание. В таблицах указан приближенный квадратный корень иногда с недостатком, иногда же с избытком, а именно тот из этих приближенных корней, который ближе подходит к точному корню.

179. Извлечение квадратных корней из обыкновенных дробей. Точный квадратный корень из несократимой дроби можно извлечь лишь тогда, когда оба члена дроби точные квадраты . В этом случае достаточно извлечь корень из числителя и знаменателя отдельно, напр.:

Приближенный квадратный корень из обыкновенной дроби c какою-нибудь десятичною точностью проще всего можно находить, если предварительно обратим обыкновенную дробь в десятичную, вычислив в этой дроби такое число десятичных знаков после запятой, которое было бы вдвое больше числа десятичных знаков в искомом корне.

Впрочем можно поступать и иначе. Объясним это на следующем примере:

Найти приближенный √ 5 / 24

Сделаем знаменатель точным квадратом. Для этого достаточно было бы умножить оба члена дроби на знаменатель 24; но в этом примере можно поступить иначе. Разложим 24 на простые множители: 24 = 2 2 2 3. Из этого разложения видно, что если 24 умножить на 2 и еще на 3, то тогда в произведении каждый простой множитель будет повторяться четное число раз, и, следовательно, знаменатель сделается квадратом:

Остается вычислить √30 с какой-нибудь точностью и результат разделить на 12. При этом надо иметь в виду, что от деления на 12 уменьшится и дробь, показывающая степень точности. Так, если найдем √30 с точностью до 1 / 10 и результат разделим на 12, то получим приближенный корень из дроби 5 / 24 с точностью до 1 / 120 (а именно 54 / 120 и 55 / 120)

Глава третья.

График функции х = √ y .

180. Обратная функция. Пусть дано какое-нибудь уравнение, определяющее у как функцию от х , напр, такое: у = х 2 . Мы можем сказать, что оно определяет не только у как функцию от х , но и, обратно, определяет х как функцию от у , хотя и неявным образом. Чтобы сделать эту функцию явной, надо решить данное уравнение относительно х , принимая у за известное число; так, из взятого нами уравнения находим: у = х 2 .

Алгебраическое выражение, полученное для x после решения уравнения, определяющего у как функцию от x, называется функцией, обратной той, которая определяет у.

Значит, функция, х = √ y обратна функции у = х 2 . Если, как это принято, независимое переменное обозначим х , а зависимое у , то полученную сейчас обратную функцию можем выразить так: y = √ x . Таким образом, чтобы получить функцию, обратную данной (прямой), надо из уравнения, определяющего эту данную функцию, вывести х в зависимости от y и в полученном выражении заменить y на x , а х на y .

181. График функции y = √ x . Функция эта невозможна при отрицательном значении х , но ее возможно вычислить (с любою точностью) при всяком положительном значении x , причем для каждого такого значения функция получает два различных значения с одинаковой абсолютной величиной, но с противоположными знаками. Если знаком √ будем обозначать только арифметическое значение квадратного корня, то эти два значения функции можем выразить так: y = ± √ x Для построения графика этой функции надо предварительно составить таблицу ее значений. Всего проще эту таблицу составить из таблицы значений прямой функции:

у = х 2 .

x

y

если значения у примем за значения х , и наоборот:

y = ± √ x

Нанеся все эти значения на чертеже, получим следующий график.

На том же чертеже мы изобразили (прерывистой линией) и график прямой функции у = х 2 . Сравним эти два графика между собою.

182. Соотношение между графиками прямой и обратной функций. Для составления таблицы значений обратной функции y = ± √ x мы брали для х те числа, которые в таблице прямой функции у = х 2 служили значениями для у , а для у брали те числа; которые в этой таблице были значениями для x . Из этого следует, что оба графика одинаковы, только график прямой функции так расположен относительно оси у - ов, как график обратной функции расположен относительно оси х - ов. Вследствие этого, если мы перегнем чертеж вокруг прямой ОА , делящей пополам прямой угол xОу , так, чтобы часть чертежа, содержащая полуось Оу , упала на ту часть, которая содержит полуось Ох , то Оу совместится с Ох , все деления Оу совпадут c делениями Ох , и точки параболы у = х 2 совместятся с соответствующими точками графика y = ± √ x . Напр, точки М и N , у которых ордината 4 , а абсциссы 2 и -2 , совпадут с точками М" и N" , у которых абсцисса 4 , а ординаты 2 и -2 . Если же эти точки совпадут, то это значит, что прямые ММ" и NN" перпендикулярны к ОА и делятся этою прямою пополам. То же самое можно сказать о всех других соответствующих точках обоих графиков.

Таким образом, график обратной функции должен быть такой же, как и грaфик прямой функции, но расположены эти графики различно, а именно симметрично друг с другом относительно биссектрисы угла хОу . Можно сказать, что график обратной функции есть отображение (как в зеркале) графика прямой функции относительно биссектрисы угла хОу .

Инструкция

Подберите подкоренному числу такой множитель, вынесение которого из под корня действительно выражение - иначе операция потеряет . Например, если под знаком корня с показателем, равным трем (кубический корень), стоит число 128, то из под знака можно вынести, например, число 5. При этом подкоренное число 128 придется разделить на 5 в кубе: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. Если наличие дробного числа под знаком корня не противоречит условиям задачи, то можно в таком виде. Если же нужен более простой вариант, то сначала разбейте подкоренное выражение на такие целочисленные множители, кубический корень одного из которых будет являться целым число м. Например: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Используйте для подбора множителей подкоренного числа , если вычислять в уме степени числа не представляется возможным. Особенно это актуально к корня м с показателем степени больше двух. Если есть доступ в интернет, то можно производить вычисления встроенными в поисковые системы Google и Nigma вычислителями. Например, если надо найти наибольший целочисленный множитель, который можно вынести из под знака кубического корня для числа 250, то перейдя на сайт Google введите запрос «6^3», чтобы проверить, нельзя ли вынести из под знака корня шестерку. Поисковик покажет результат, равный 216. Увы, 250 нельзя разделить без остатка на это число . Тогда введите запрос 5^3. Результатом будет 125, а это позволяет разбить 250 на множители 125 и 2, а значит вынести из под знака корня число 5, оставив там число 2.

Источники:

• как вынести из под корня
• Квадратный корень из произведения

Вынести из-под корня один из сомножителей необходимо в ситуациях, когда нужно упростить математическое выражение. Бывают случаи, когда выполнить нужные вычисления с помощью калькулятора невозможно. Например, если вместо чисел используются буквенные обозначения переменных.

Инструкция

Разложите подкоренное выражение на простые сомножители. Посмотрите, какой из сомножителей повторяется столько же раз, указано в показателей корня , или больше. Например, вам нужно извлечь корень из числа а в четвертой степени. В этом случае число можно представить как а*а*а*а = а*(а*а*а)=а*а3. Показателю корня в этом случае будет соответствовать сомножитель а3. Его и нужно вынести за знак .

Извлеките корень получившихся подкоренных в отдельности там, где это возможно. Извлечение корня представляет собой алгебраическое действие, обратное возведению в степень. Извлечение корня произвольной степени из числа найти такое число, которое при возведении его в эту произвольную степень даст в результате данное число. Если извлечение корня произвести нельзя, оставьте подкоренное выражение под знаком корня так, как оно есть. В результате проведения перечисленных действий вы произведете вынесение из-под знака корня .

Видео по теме

Обратите внимание

Будьте внимательны при записи подкоренного выражения в виде сомножителей – ошибка на этом этапе приведёт к неправильным результатам.

Полезный совет

При извлечении корней удобно пользоваться специальными таблицами или таблицами логарифмических корней – этим вы значительно сократите время на нахождение правильного решения.

Источники:

• знак извлечения корня в 2019

Упрощение алгебраических выражений требуется во многих разделах математики, в том числе при решении уравнений высших степеней, дифференцировании и интегрировании. При этом используется несколько методов, включая разложение на множители. Чтобы применить этот способ, нужно найти и вынести общий множитель за скобки .

Инструкция

Вынесение общего множителя за скобки – один из самых распространенных способов разложения . Этот прием применяется для упрощения структуры длинных алгебраических выражений, т.е. многочленов. Общим может быть число, одночлен или двучлен, а для его поиска применяется распределительное свойство умножения.

Число.Посмотрите внимательно на коэффициенты при каждом многочлена, можно ли разделить их на одно и то же число. Например, в выражении 12 z³ + 16 z² – 4 очевидным является множитель 4. После преобразования получится 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Иными , это число является наименьшим общим целочисленным делителем всех коэффициентов.

Одночлен.Определите, ли одна и та же переменная в каждый из слагаемых многочлена. Предположим, что это так, теперь посмотрите на коэффициенты, как в предыдущем случае. Пример: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.

Каждый элемент этого многочлена содержит переменную z. Кроме того, все коэффициенты – числа, кратные 3. Следовательно, общим множителем будет одночлен 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1).

Двучлен.За скобки общий множитель из двух , переменной и числа, которое является общего многочлена. Поэтому, если множитель -двучлен неочевиден, то нужно найти хотя бы один корень. Выделите свободный член многочлена, это коэффициент без переменной. Теперь примените метод подстановки в общее выражение всех целочисленных делителей свободного члена.

Рассмотрите : z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Проверьте, не является ли какой-либо из целых делителей числа 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Путем простой подстановки найдите z1 = 1 и z2 = 2, значит, за скобки можно вынести двучлены (z - 1) и (z - 2). Для того, чтобы найти оставшееся выражение, воспользуйтесь последовательным делением в столбик.