Уравнение прямой по 2 м точкам. Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач

Уравнение параболы является квадратичной функцией. Существует несколько вариантов составления этого уравнения. Все зависит от того, какие параметры представлены в условии задачи.

Инструкция

Парабола представляет собой кривую, которая по своей форме напоминает дугу и является графиком степенной функции. Независимо от того, характеристики имеет парабола, эта является четной. Четной называется такая функция, у при всех значениях аргумента из определения при изменении знака аргумента значение не изменяется:f(-x)=f(x)Начните с самой простую функции: y=x^2. Из ее вида можно сделать вывод, что она как при положительных, так и при отрицательных значениях аргумента x. Точка, в которой x=0, и при этом, y =0 считается точкой .

Ниже приведены все основные варианты построения этой функции и ее . В качестве первого примера ниже рассмотрена функция вида:f(x)=x^2+a, где a - целое числоДля того, чтобы построить график данной функции, необходимо сдвинуть график функции f(x) на a единиц. Примером может служить функция y=x^2+3, где вдоль оси y сдвигают функцию на две единицы. Если дана функция с противоположным знаком, например y=x^2-3, то ее график сдвигают вниз по оси y.

Еще один вид функции, которой может быть задана парабола - f(x)=(x +a)^2. В таких случаях график, наоборот, сдвигается вдоль оси абсцисс (оси x) на a единиц. Для примера можно рассмотреть функции: y=(x +4)^2 и y=(x-4)^2. В первом случае, где имеется функция со знаком плюс, график сдвигают по оси x влево, а во втором случае - вправо. Все эти случаи показаны на рисунке.

Пусть даны две точки М (Х 1 ,У 1) и N (Х 2, y 2). Найдем уравнение прямой, проходящей через эти точки.

Так как эта прямая проходит через точку М , то согласно формуле (1.13) ее уравнение имеет вид

У – Y 1 = K (X – x 1),

Где K – неизвестный угловой коэффициент.

Значение этого коэффициента определим из того условия, что искомая прямая проходит через точку N , а значит, ее координаты удовлетворяют уравнению (1.13)

Y 2 – Y 1 = K (X 2 – X 1),

Отсюда можно найти угловой коэффициент этой прямой:

,

Или после преобразования

(1.14)

Формула (1.14) определяет Уравнение прямой, проходящей через две точки М (X 1, Y 1) и N (X 2, Y 2).

В частном случае, когда точки M (A , 0), N (0, B ), А ¹ 0, B ¹ 0, лежат на осях координат, уравнение (1.14) примет более простой вид

Уравнение (1.15) называется Уравнением прямой в отрезках , здесь А и B обозначают отрезки, отсекаемые прямой на осях (рисунок 1.6).

Рисунок 1.6

Пример 1.10. Составить уравнение прямой, проходящей через точки М (1, 2) и B (3, –1).

. Согласно (1.14) уравнение искомой прямой имеет вид

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Перенося все члены в левую часть, окончательно получаем искомое уравнение

3X + 2Y – 7 = 0.

Пример 1.11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (2, 1) и точку пересечения прямых X + Y – 1 = 0, Х – у + 2 = 0.

. Координаты точки пересечения прямых найдем, решив совместно данные уравнения

Если сложить почленно эти уравнения, получим 2X + 1 = 0, откуда . Подставив найденное значение в любое уравнение, найдем значение ординаты У :

Теперь напишем уравнение прямой, проходящей через точки (2, 1) и :

или .

Отсюда или –5(Y – 1) = X – 2.

Окончательно получаем уравнение искомой прямой в виде Х + 5Y – 7 = 0.

Пример 1.12. Найти уравнение прямой, проходящей через точки M (2,1) и N (2,3).

Используя формулу (1.14), получим уравнение

Оно не имеет смысла, так как второй знаменатель равен нулю. Из условия задачи видно, что абсциссы обеих точек имеют одно и то же значение. Значит, искомая прямая параллельна оси ОY и ее уравнение имеет вид: x = 2.

Замечание . Если при записи уравнения прямой по формуле (1.14) один из знаменателей окажется равным нулю, то искомое уравнение можно получить, приравняв к нулю соответствующий числитель.

Рассмотрим другие способы задания прямой на плоскости.

1. Пусть ненулевой вектор перпендикулярен данной прямой L , а точка M 0(X 0, Y 0) лежит на этой прямой (рисунок 1.7).

Рисунок 1.7

Обозначим М (X , Y ) произвольную точку на прямой L . Векторы и Ортогональны. Используя условия ортогональности этих векторов, получим или А (X – X 0) + B (Y – Y 0) = 0.

Мы получили уравнение прямой, проходящей через точку M 0 перпендикулярно вектору . Этот вектор называется Вектором нормали к прямой L . Полученное уравнение можно переписать в виде

Ах + Ву + С = 0, где С = –(А X 0 + By 0), (1.16),

Где А и В – координаты вектора нормали.

Получим общее уравнение прямой в параметрическом виде.

2. Прямую на плоскости можно задать так: пусть ненулевой вектор параллелен данной прямой L и точка M 0(X 0, Y 0) лежит на этой прямой. Вновь возьмем произвольную точку М (Х , y) на прямой (рисунок 1.8).

Рисунок 1.8

Векторы и коллинеарны.

Запишем условие коллинеарности этих векторов: , где T – произвольное число, называемое параметром. Распишем это равенство в координатах:

Эти уравнения называются Параметрическими уравнениями Прямой . Исключим из этих уравнений параметр T :

Эти уравнения иначе можно записать в виде

. (1.18)

Полученное уравнение называют Каноническим уравнением прямой . Вектор называют Направляющим вектором прямой .

Замечание . Легко видеть, что если – вектор нормали к прямой L , то ее направляющим вектором может быть вектор , так как , т. е. .

Пример 1.13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку M 0(1, 1) параллельно прямой 3Х + 2У – 8 = 0.

Решение . Вектор является вектором нормали к заданной и искомой прямым. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку M 0 с заданным вектором нормали 3(Х –1) + 2(У – 1) = 0 или 3Х + 2у – 5 = 0. Получили уравнение искомой прямой.

Пусть даны две точки М 1 (х 1 ,у 1) и М 2 (х 2 ,у 2) . Запишем уравнение прямой в виде (5), где k пока неизвестный коэффициент:

Так как точка М 2 принадлежит заданной прямой, то её координаты удовлетворяют уравнению (5): . Выражая отсюда и подставив его в уравнение (5) получим искомое уравнение:

Если это уравнение можно переписать в виде, более удобном для запоминания:

(6)

Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точки М 1 (1,2) и М 2 (-2,3)

Решение . . Используя свойство пропорции, и выполнив необходимые преобразования, получим общее уравнение прямой:

Угол между двумя прямыми

Рассмотрим две прямые l 1 и l 2 :

l 1 : , , и

l 2 : , ,

φ- угол между ними (). Из рис.4 видно: .

Отсюда , или

С помощью формулы (7) можно определить один из углов между прямыми. Второй угол равен .

Пример . Две прямые заданы уравнениями у=2х+3 и у=-3х+2. найти угол между этими прямыми.

Решение . Из уравнений видно, что k 1 =2, а k 2 =-3. подставляя данные значения в формулу (7), находим

. Таким образом, угол между данными прямыми равен .

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Если прямые l 1 и l 2 параллельны, то φ=0 и tgφ=0 . из формулы (7) следует, что , откуда k 2 =k 1 . Таким образом, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов.

Если прямые l 1 и l 2 перпендикулярны, то φ=π/2 , α 2 = π/2+ α 1 . . Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

Расстояние от точки до прямой

Теорема. Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

Доказательство. Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1:

Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно заданной прямой.

Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.

Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tgj= ; j = p/4.

Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Находим: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Пример. Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Находим уравнение стороны АВ: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Искомое уравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.

k= . Тогда y = . Т.к. высота проходит через точку С, то ее координаты удовлетворяют данному уравнению: откуда b = 17. Итого: .

Ответ: 3x + 2y – 34 = 0.

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Если прямая параллельна плоскости проекции (h | | П 1) , то для того чтобы определить расстояние от точкиА до прямой h необходимо опустить перпендикуляр из точки А на горизонталь h .

Рассмотрим более сложный пример, когда прямая занимает общее положение. Пусть необходимо определить расстояние от точки М до прямойа общего положения.

Задача на определение расстояния между параллельными прямыми решается аналогично предыдущей. На одной прямой берется точка, из нее опускается перпендикуляр на другую прямую. Длина перпендикуляра равна расстоянию между параллельными прямыми.

Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат. В общем случае Ах 2 + 2Вху +Су 2 + 2Дх + 2Еу +F = 0,

где А, В, С, Д, Е, F – действительные числа и по крайней мере одно из чисел А 2 +В 2 +С 2 ≠0.

Окружность

Центр окружности – это геометрическое место точек в плоскости равностоящих от точки плоскости С(а,b).

Окружность задается следующим уравнением:

Где х,у – координаты произвольной точки окружности, R - радиус окружности.

Признак уравнения окружности

1. Отсутствует слагаемое с х,у

2. Равны Коэффициенты при х 2 и у 2

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек в плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости называется фокусами (постоянная величина).

Каноническое уравнение эллипса:

Х и у принадлежат эллипсу.

а – большая полуось эллипса

b – малая полуось эллипса

У эллипса 2 оси симметрии ОХ и ОУ. Оси симметрии эллипса – его оси, точка их пересечения – центр эллипса. Та ось на которой расположены фокусы, называется фокальной осью . Точка пересечения эллипса с осями – вершина эллипса.

Коэффициент сжатия (растяжения): ε = с/а – эксцентриситет (характеризует форму эллипса), чем он меньше, тем меньше вытянут эллипс вдоль фокальной оси.

Если центры эллипса находятся не в центре С(α, β)

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек в плоскости, абсолютная величина разности расстояний, каждое из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами есть величина постоянная, отличная от ноля.

Каноническое уравнение гиперболы

Гипербола имеет 2 оси симметрии:

а – действительная полуось симметрии

b – мнимая полуось симметрии

Ассимптоты гиперболы:

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек в плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы:

У 2 =2рх, где р – расстояние от фокуса до директрисы (параметр параболы)

Если вершина параболы С (α, β), то уравнение параболы (у-β) 2 =2р(х-α)

Если фокальную ось принять за ось ординат, то уравнение параболы примет вид: х 2 =2qу

Прямая, проходящая через точку K(x 0 ; y 0) и параллельная прямой y = kx + a находится по формуле:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Где k - угловой коэффициент прямой.

Альтернативная формула:
Прямая, проходящая через точку M 1 (x 1 ; y 1) и параллельная прямой Ax+By+C=0 , представляется уравнением

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Составить уравнение прямой, проходящей через точку K(;) параллельно прямой y = x + .

Пример №1 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (-2,1) и при этом:
а) параллельно прямой 2x+3y -7 = 0;
б) перпендикулярно прямой 2x+3y -7 = 0.
Решение . Представим уравнение с угловым коэффициентом в виде y = kx + a . Для этого перенесем все значения кроме y в правую часть: 3y = -2x + 7 . Затем разделим правую часть на коэффициент 3 . Получим: y = -2/3x + 7/3
Найдем уравнение NK, проходящее через точку K(-2;1), параллельно прямой y = -2 / 3 x + 7 / 3
Подставляя x 0 = -2, k = -2 / 3 , y 0 = 1 получим:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
или
y = -2 / 3 x - 1 / 3 или 3y + 2x +1 = 0

Пример №2 . Написать уравнение прямой, параллельной прямой 2x + 5y = 0 и образующей вместе с осями координат треугольник, площадь которого равна 5.
Решение . Так как прямые параллельны, то уравнение искомой прямой 2x + 5y + C = 0. Площадь прямоугольного треугольника , где a и b его катеты. Найдем точки пересечения искомой прямой с осями координат:
;
.
Итак, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Подставим в формулу для площади: . Получаем два решения: 2x + 5y + 10 = 0 и 2x + 5y – 10 = 0 .

Пример №3 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2; 5) и параллельной прямой 5x-7y-4=0 .
Решение. Данную прямую можно представить уравнением y = 5 / 7 x – 4 / 7 (здесь a = 5 / 7). Уравнение искомой прямой есть y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), т.е. 7(y-5)=5(x+2) или 5x-7y+45=0 .

Пример №4 . Решив пример 3 (A=5, B=-7) по формуле (2), найдем 5(x+2)-7(y-5)=0.

Пример №5 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-2;5) и параллельной прямой 7x+10=0.
Решение. Здесь A=7, B=0. Формула (2) дает 7(x+2)=0, т.е. x+2=0. Формула (1) неприменима, так как данное уравнение нельзя разрешить относительно y (данная прямая параллельна оси ординат).

Уравнение прямой проходящей через две точки. В статье " " я обещал вам разобрать второй способ решения представленных задач на нахождение производной, при данном графике функции и касательной к этому графику. Этот способ мы разберём в , не пропустите! Почему в следующей?

Дело в том, что там будет использоваться формула уравнения прямой. Конечно, можно было бы просто показать данную формулу и посоветовать вам её выучить. Но лучше объяснить – от куда она исходит (как выводится). Это необходимо! Если вы её забудете, то быстро восстановить её не представит труда. Ниже подробно всё изложено. Итак, у нас на координатной плоскости имеется две точки А (х 1 ;у 1) и В(х 2 ;у 2), через указанные точки проведена прямая:

Вот сама формула прямой:

*То есть при подстановке конкретных координат точек мы получим уравнение вида y=kx+b.

**Если данную формулу просто «зазубрить», то имеется большая вероятность запутаться с индексами при х . Кроме того, индексы могут обозначаться по разному, например:

Поэтому-то и важно понимать смысл.

Теперь вывод этой формулы. Всё очень просто!

Треугольники АВЕ и ACF подобны по острому углу (первый признак подобия прямоугольных треугольников). Из этого следует, что отношения соответственных элементов равны, то есть:

Теперь просто выражаем данные отрезки через разность координат точек:

Конечно, не будет никакой ошибки если вы запишите отношения элементов в другом порядке (главное соблюдать соответствие):

В результате получится одно и тоже уравнение прямой. Это всё!

То есть, как бы не были обозначены сами точки (и их координаты), понимая данную формулу вы всегда найдёте уравнение прямой.

Формулу можно вывести используя свойства векторов, но принцип вывода будет тот же, так как речь будет идти о пропорциональности их координат. В этом случае работает всё то же подобие прямоугольных треугольников. На мой взгляд описанный выше вывод более понятнее)).

Посмотреть вывод через координаты векторов >>>

Пусть на координатной плоскости построена прямая, проходящая через две заданные точки А(х 1 ;у 1) и В(х 2 ;у 2). Отметим на прямой произвольную точку С с координатами (x ; y ). Также обозначим два вектора:

Известно, что у векторов лежащих на параллельных прямых (либо на одной прямой), их соответствующие координаты пропорциональны, то есть:

— записываем равенство отношений соответствующих координат:

Рассмотрим пример:

Найти уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (2;5) и (7:3).

Можно даже не строить саму прямую. Применяем формулу:

Важно, чтобы вы уловили соответствие, при составлении соотношения. Вы не ошибётесь, если запишите:

Ответ: у=-2/5x+29/5 иди у=-0,4x+5,8

Для того, чтобы убедится, что полученное уравнение найдено верно, обязательно делайте проверку — подставьте в него координаты данных в условии точек. Должны получится верные равенства.

На этом всё. Надеюсь, материал был вам полезен.

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.