Теорема о сумме внутренних углов треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство:

• Дан треугольник АВС.
• Через вершину B проведем прямую DK параллельно основанию AC.
• \angle CBK= \angle C как внутренние накрест лежащие при параллельных DK и AC, и секущей BC.
• \angle DBA = \angle A внутренние накрест лежащие при DK \parallel AC и секущей AB. Угол DBK развернутый и равен
• \angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
• Так как развернутый угол равен 180 ^\circ , а \angle CBK = \angle C и \angle DBA = \angle A , то получим 180 ^\circ = \angle A + \angle B + \angle C.

Теорема доказана

Следствия из теоремы о сумме углов треугольника:

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° .
2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45° .
3. В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60° .
4. В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий - тупой или прямой.
5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Теорема о внешнем угле треугольника

Внешний угол треугольника равен сумме двух оставшихся углов треугольника, не смежных с этим внешним углом

Доказательство:

• Дан треугольник АВС, где ВСD - внешний угол.
• \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
• Из равенств угол \angle BCD + \angle BCA = 180^0
• Получаем \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.

Цели и задачи:

Образовательные:

• повторить и обобщить знания о треугольнике;
• доказать теорему о сумме углов треугольника;
• практически убедиться в правильности формулировки теоремы;
• научиться применять полученные знания при решении задач.

Развивающие:

• развивать геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся, математическую речь, умение самостоятельно добывать знания.

Воспитательные:

• развивать личностные качества учащихся, таких как целеустремленность, настойчивость, аккуратность, умение работать в коллективе.

Оборудование: мультимедийный проектор, треугольники из цветной бумаги, УМК «Живая математика», компьютер, экран.

Подготовительный этап: учитель дает задание ученику подготовить историческую справку о теореме «Сумма углов треугольника».

Тип урока : изучение нового материала.

Ход урока

I. Организационный момент

Приветствие. Психологический настрой учащихся на работу.

II. Разминка

С геометрической фигурой “треугольник” мы познакомились на предыдущих уроках. Давайте повторим, что нам известно о треугольнике?

Учащиеся работают по группам. Им предоставлена возможность общаться друг с другом, каждому самостоятельно строить процесс познания.

Что получилось? Каждая группа высказывает свои предложения, учитель записывает их на доске. Проводится обсуждение результатов:

Рисунок 1

III. Формулируем задачу урока

Итак, о треугольнике мы знаем уже достаточно много. Но не все. У каждого из вас на парте есть треугольники и транспортиры. Как вы думаете, какую задачу мы можем сформулировать?

Ученики формулируют задачу урока - найти сумму углов треугольника.

IV. Объяснение нового материала

Практическая часть (способствует актуализации знаний и навыков самопознания).Проведите измерения углов с помощью транспортира и найдите их сумму. Результаты запишите в тетрадь (заслушать полученные ответы). Выясняем, что сумма углов у всех получилась разная (так может получиться, потому что неточно приложили транспортир, небрежно выполнили подсчет и т.д.).

Выполните перегибания по пунктирным линиям и узнайте, чему еще равна сумма углов треугольника:

а)
Рисунок 2

б)
Рисунок 3

в)
Рисунок 4

г)
Рисунок 5

д)
Рисунок 6

После выполнения практической работы ученики формулируют ответ: Сумма углов треугольника равна градусной мере развернутого угла, т. е. 180°.

Учитель: В математике практическая работа дает возможность лишь сделать какое-то утверждение, но его нужно доказать. Утверждение, справедливость которого устанавливается путем доказательства, называется теоремой. Какую теорему мы можем сформулировать и доказать?

Ученики: Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Историческая справка: Свойство суммы углов треугольника было установлено еще в Древнем Египте. Доказательство, изложенное в современных учебниках, содержится в комментариях Прокла к «Началам» Евклида. Прокл утверждает, что это доказательство (рис. 8) было открыто еще пифагорейцами (5 в. до н. э.). В первой книге «Начал» Евклид излагает другое доказательство теоремы о сумме углов треугольника, которое легко понять при помощи чертежа (рис. 7):

Рисунок 7

Рисунок 8

Чертежи высвечиваются на экране через проектор.

Учитель предлагает с помощью чертежей доказать теорему.

Затем доказательство проводится с применением УМК «Живая математика» . Учитель на компьютере проецирует доказательство теоремы.

Теорема о сумме углов треугольника: «Сумма углов треугольника равна 180°»

Рисунок 9

Доказательство:

а)

Рисунок 10

б)

Рисунок 11

в)

Рисунок 12

Учащиеся в тетради делает краткую запись доказательства теоремы:

Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°.

Рисунок 13

Дано: Δ АВС

Доказать: А + В + С = 180°.

Доказательство:

Что требовалось доказать.

V. Физ. минутка.

VI. Объяснение нового материала (продолжение)

Следствие из теоремы о сумме углов треугольника выводится учащимися самостоятельно, это способствует развитию умения формулировать собственную точку зрения, высказывать и аргументировать ее:

В любом треугольнике либо все углы острые, либо два острых угла, а третий тупой или прямой .

Если в треугольнике все углы острые, то он называется остроугольным .

Если один из углов треугольника тупой, то он называется тупоугольным .

Если один из углов треугольника прямой, то он называется прямоугольным .

Теорема о сумме углов треугольника позволяет классифицировать треугольники не только по сторонам, но и по углам. (По ходу введения видов треугольников учащимися заполняется таблица)

Таблица 1

Вид треугольника	Равнобедренный	Равносторонний	Разносторонний
Прямоугольный
Тупоугольный
Остроугольный

VII. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачи устно:

(Чертежи высвечиваются на экране через проектор)

Задача 1. Найдите угол С.

Рисунок 14

Задача 2. Найдите угол F.

Рисунок 15

Задача 3. Найдите углы К и N.

Рисунок 16

Задача 4. Найдите углы P и T.

Рисунок 17

1. Решить задачу самостоятельно № 223 (б, г).
2. Решить задачу на доске и в тетрадях уч-ся №224.
3. Вопросы: Может ли треугольник иметь: а) два прямых угла; б) два тупых угла; в) один прямой и один тупой угол.
4. (выполняется устно) На карточках, имеющихся на каждом столе, изображены различные треугольники. Определите на глаз вид каждого треугольника.

Рисунок 18

1. Найдите сумму углов 1, 2 и 3.

Рисунок 19

VIII. Итог урока.

Учитель: Что мы узнали? Для любого ли треугольника применима теорема?

IX. Рефлексия.

Передайте мне свое настроение, ребята! С обратной стороны треугольника изобразите свою мимику.

Рисунок 20

Домашнее задание: п.30 (1 часть), вопрос 1 гл. IV стр. 89 учебника; № 223 (а, в), № 225.

. (Слайд 1)

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

• Образовательные :
  • рассмотреть теорему о сумме углов треугольника,
  • показать применение теоремы при решении задач.
• Воспитательные :
  • воспитание положительного отношения учащихся к знаниям,
  • воспитывать в учащихся средствами урока уверенность в своих силах.
• Развивающие :
  • развитие аналитического мышления,
  • развитие «умений учиться»: использовать знания, умения и навыки в учебном процессе,
  • развитие логического мышления, способности четко формулировать свои мысли.

Оборудование: интерактивная доска, презентация, карточки.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

– Сегодня на уроке мы вспомним определения прямоугольного, равнобедренного, равностороннего треугольников. Повторим свойства углов треугольников. Применяя свойства внутренних односторонних и внутренних накрест лежащих углов докажем теорему о сумме углов треугольника и научимся применять ее при решении задач.

II. Устно (Слайд 2)

1) Найти на рисунках прямоугольный, равнобедренный, равносторонний треугольники.
2) Дать определение этим треугольникам.
3) Сформулировать свойства углов равностороннего и равнобедренного треугольника.

4) На рисунке KE II NH. (слайд 3)

– Укажите секущие для этих прямых
– Найти внутренние односторонние углы, внутренние накрест лежащие углы, назвать их свойства

III. Объяснение нового материала

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 о

По формулировке теоремы, ребята строят чертеж, записывают условие, заключение. Отвечая на вопросы, самостоятельно доказывают теорему.

Дано: Доказать:

Доказательство:

1. Через вершину В треугольника проведем прямую BD II AC.
2. Указать секущие для параллельных прямых.
3. Что можно сказать об углах CBD и ACB? (сделать запись)
4. Что мы знаем об углах CAB и ABD? (сделать запись)
5. Заменим угол CBD углом ACB
6. Сделать вывод.

IV. Закончи предложение. (Слайд 4)

1. Сумма углов треугольника равна …
2. В треугольнике один из углов равен, другой, третий угол треугольника равен …
3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна …
4. Углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны …
5. Углы равностороннего треугольника равны...
6. Если угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника равен 1000, то углы при основании равны …

V. Немного истории. (Слайды 5-7)

Доказательство теоремы о сумме углов треугольника «Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым» приписывают Пифагору (580-500 г.г. до н.э.)
Древнегреческий ученый Прокл (410-485 г.г. н.э.),

Материалы, расположенные на этой странице, являются авторскими. Копирование для размешения на других сайтах допускается только с явного согласия автора и администрации сайта.

Сумма углов треугольника.

Смирнова И. Н., учитель математики.
Информационный проспект открытого урока.

Цель методического занятия: познакомить учителей с современными методами и приемами использования средств ИКТ в различных видах учебной деятельности.
Тема урока: Сумма углов треугольника.
Имя урока: «Знание только тогда знание, когда оно приобретено усилиями своей мысли, а не памятью». Л. Н Толстой.
Методические новшества, которые будут положены в основу урока.
На уроке будут показаны методы научного исследования с использованием ИКТ (использование математических экспериментов, как одной из форм получения новых знаний; экспериментальная проверка гипотез).
Обзорное описание модели урока.

1. Мотивация изучения теоремы.
2. Раскрытие содержания теоремы в ходе математического эксперимента с использованием учебно-методического комплекта «Живая математика».
3. Мотивация необходимости доказательства теоремы.
4. Работа над структурой теоремы.
5. Поиск доказательства теоремы.
6. Доказательство теоремы.
7. Закрепление формулировки теоремы и ее доказательства.
8. Применение теоремы.

Урок по геометрии в 7 классе
по учебнику «Геометрия 7-9»
на тему: «Сумма углов треугольника».

Тип урока: урок изучения нового материала.
Цели урока:
Образовательные: доказать теорему о сумме углов треугольника; получить навыки работы с программой «Живая математика», развитие межпредметных связей.
Развивающие: совершенствование умений осознанно проводить такие приемы мышления как сравнение, обобщение и систематизация.
Воспитательные: воспитание самостоятельности и умения работать в соответствии с намеченным планом.
Оборудование: мультимедийный кабинет, интерактивная доска, карточки с планом практической работы, программа «Живая математика».

Структура урока.

1. Актуализация знаний.
   1. Мобилизующее начало урока.
   2. Постановка проблемной задачи с целью мотивации изучения нового ма-териала.
   3. Постановка учебной задачи.
2. 1. Практическая работа «Сумма углов треугольника».
   2. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника.
3. 1. Решение проблемной задачи.
   2. Решение задач по готовым чертежам.
   3. Подведение итогов урока.
   4. Постановка домашнего задания.

Ход урока.

1. Актуализация знаний.

   План урока:

   1. Экспериментальным путем установить и выдвинуть гипотезу о сумме углов любого треугольника.
   2. Доказать это предположение.
   3. Закрепить установленный факт.
2. Формирование новых знаний и способов действий.
   1. Практическая работа «Сумма углов треугольника».

      Учащиеся садятся за компьютеры и им раздаются карточки с планом практической работы.

      Практическая работа по теме «Сумма углов треугольника» (образец карточки)

      Распечатать карточку
      

      Учащиеся сдают результаты практической работы и садятся за парты.
      После обсуждения результатов практической работы выдвигается гипотеза о том, что сумма углов треугольника равна 180°.
      Учитель: Почему мы пока не можем утверждать, что сумма углов абсолютно любого треугольника равна 180°.
      Ученик: Нельзя выполнить ни абсолютно точных построений, ни произвести абсолютно точного измерения, даже на компьютере.
      Утверждение, что сумма углов треугольника равна 180°, относится только к рассмотренным нами треугольникам. Мы ничего не можем сказать о других треугольниках, так как их углы мы не измеряли.
      Учитель: Правильнее было бы сказать: рассмотренные нами треугольники имеют сумму углов приблизительно равную 180°. Чтобы убедиться в том, что сумма углов треугольника точно равна 180° и при том для любых треугольников, нам надо еще провести соответствующие рассуждения, то есть доказать справедливость утверждения, подсказанного нам опытом.
      

   2. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника.

      Учащиеся открывают тетради и записывают тему урока «Сумма углов треугольника».

      Работа над структурой теоремы.

      Чтобы сформулировать теорему, ответьте на следующие вопросы:
      • Какие треугольники использовались в процессе проведения измерений?
      • Что входит в условие теоремы (что дано)?
      • Что мы обнаружили при измерении?
      • В чем состоит заключение теоремы (что надо доказать)?
      • Попробуйте сформулировать теорему о сумме углов треугольника.

      Построение чертежа и краткая запись теоремы

      На этом этапе учащимся предлагается сделать чертеж и записать, что дано и что требуется доказать.

      Построение чертежа и краткая запись теоремы.

      Дано: Треугольник ABC.
      Доказать:
      டA + டB + டC = 180°.

      Поиск доказательства теоремы

      При поиске доказательства следует попытаться развернуть условие или заключение теоремы. В теореме о сумме углов треугольника попытки развернуть условие безнадежны, поэтому разумно заняться с учениками развертыванием заключения.
      Учитель: В каких утверждениях говорится об углах, сумма величин которых равна 180°.
      Ученик: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
      Сумма смежных углов равна 180°.
      Учитель: Попробуем для доказательства использовать первое утверждение. В связи с этим необходимо построить две параллельные прямые и секущую, но необходимо это сделать так, чтобы наибольшее количество углов треугольника стали внутренними или входили в них. Как можно этого добиться?
      

      Поиск доказательства теоремы.

      

      Ученик: Провести через одну из вершин треугольника прямую параллельную другой стороне, тогда боковая сторона будет являться секущей. Например, через вершину В.
      Учитель: Назовите образовавшиеся при этих прямых и секущей внутренние односторонние углы.
      Ученик: Углы DBA и ВАС.
      Учитель: Сумма каких углов будет равна 180°?
      Ученик: டDBA и டBAC.
      Учитель: Что можно сказать о величине угла ABD?
      Ученик: Его величина равна сумме величин углов ABC и СВК.
      Учитель: Какого утверждения нам не хватает, чтобы доказать теорему?
      Ученик: டDBC = டACB.
      Учитель: Какие это углы?
      Ученик: Внутренние накрест лежащие.
      Учитель: На основании чего мы можем утверждать, что они равны?
      Ученик: По свойству внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей.

      В результате поиска доказательства составляется план доказательства теоремы:
      

      План доказательства теоремы.

      1. Через одну из вершин треугольника провести прямую, параллельную противолежащей стороне.
      2. Доказать равенство внутренних накрест лежащих углов.
      3. Записать сумму внутренних односторонних углов и выразить их через углы треугольника.

      Доказательство и его запись.

      
      1. Проведем BD || АС (аксиома параллельных прямых).
      2. ட3 = ட4 (так как это накрест лежащие углы при BD || АС и секущей ВС).
      3. டА + டАВD = 180° (так как это односторонние углы при BD || АС и секущей АВ).
      4. டА + டАВD = ட1 + (ட2 + ட4) = ட1 + ட2 + ட3 = 180°, что и требовалось доказать.

      Закрепление формулировки теоремы и ее доказательства.

      Для усвоения формулировки теоремы учащимся предлагается выполнить следующие задания:

      1. Сформулируйте теорему, которую мы только что доказали.
      2. Выделите условие и заключение теоремы.
      3. К каким фигурам применима теорема?
      4. Сформулируйте теорему со словами «если …, то…».
3. Применение знаний, формирование умений и навыков.

“Скажи мне – и я забуду,
Покажи мне – и я запомню,
Вовлеки меня – и я научусь”
Восточная пословица

Цель: Доказать теорему о сумме углов треугольника, упражнять в решении задач, используя данную теорему, развивать познавательную деятельность учащихся, используя дополнительный материал из разных источников, воспитывать умение слушать других.

Оборудование: Транспортир, линейка, модели треугольников, полоска настроения.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Отметьте на ленте настроения свое состояние на начало урока.

2. Повторение.

Повторить понятия, которые будут использованы при доказательстве теоремы: свойства углов при параллельных прямых, определение развернутого угла, градусная мера развернутого угла.

3. Новый материал.

3.1. Практическая работа.

У каждого ученика находятся три модели треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. Предлагается измерить углы треугольника и найти их сумму. Проанализировать результат. Могут получиться значения 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183 градуса. Посчитайте среднее арифметическое (=180°) Предлагается вспомнить, когда углы имеют градусную меру 180 градусов. Ученики вспоминают, что это развернутый угол и сумма односторонних углов.

Давайте попробуем получить сумму углов треугольника используя оригами.

Историческая справка

Оригами (яп., букв.: “сложенная бумага”) - древнее искусство складывания фигурок из бумаги. Искусство оригами своими корнями уходит в древний Китай, где и была открыта бумага.

3.2. Доказательство теоремы из учебника Атанасяна Л.С.

Теорема о сумме углов треугольника.

Докажем одну из важнейших теорем геометрии – теорему о сумме углов треугольника.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что A + B + C= 180°.

Проведем через вершину В прямую а, параллельную стороне АС. Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 - накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому угол 4 равен углу 1, угол 5 равен углу 3.

Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т. е. угол 4+угол 2+угол 5=180°. Отсюда, учитывая предыдущие равенства, получаем: угол 1 + угол 2+ угол 3= 180°, или A + B+ C=180°. Теорема доказана.

3.3. Доказательство теоремы из учебника Погорелова А. В.

Доказать: A + B + C = 180 °

Доказательство:

1. Проведем через вершину B прямую BD // AC

2. DBC=ACB, как накрест лежащие при AC//BD и секущей BC.

3. ABD =ACB +CBD

Отсюда, A + B+C = ABD+BAC

4. ABD и BAC – односторонние при BD // AC и секущей AB, значит их сумма равна 180 ° , т.е. А+B + C=180 ° , что и требовалось доказать.

3. 4. Доказательство теоремы из учебника Киселева А.Н., Рыбкина Н.А.

Дано: АВС

Доказать: А+B +C=180 °

Доказательство:

1. Продолжим сторону АС. Проведем СЕ//АВ

2. А=ЕСД, как соответственные при АВ//СЕ и АД - секущей

3. В=ВСЕ, как накрест лежащие при АВ//СЕ и ВС - секущей.

4. ЕСД+ВСЕ+С=180 ° , значит А + В + С = 180 ° , что и требовалось доказать.

3.5. Следствия 1. В любом треугольнике все углы острые, либо два угла острых, а третий тупой или прямой.

Следствие 2.

Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.

3.6. Теорема позволяет классифицировать треугольники не только по сторонам, но и по углам.

Вид треугольника	Равнобедренный	Равносторонний	Разносторонний
прямоугольный
тупоугольный
остроугольный

4. Закрепление.

4.1. Решение задач по готовым чертежам.

Найти неизвестные углы треугольника.

4.2. Проверка знаний.

1. В завершении нашего урока, ответьте на вопросы:

Существуют ли треугольники с углами:

а) 30, 60, 90 градусов,

b) 46, 4, 140 градусов,

с) 56, 46, 72 градуса?

2. Может ли в треугольнике быть:

а) два тупых угла,

b) тупой и прямой углы,

с) два прямых угла?

3. Определить вид треугольника, если один угол – 45 градусов, другой – 90 градусов.

4. В каком треугольнике сумма углов больше: в остроугольном, тупоугольном или прямоугольном?

5. Можно ли измерить углы любого треугольника?

Это вопрос-шутка, т.к. существует Бермудский треугольник, находящийся в Атлантическом океане между Бермудскими островами, государством Пуэрто-Рико и полуостровом Флорида, у которого невозможно измерить углы. (Приложение 1)

5. Итог урока.

Отметьте на ленте настроения свое состояние на конец урока.

Домашнее задание.

П. 30–31; № 223 а, б; № 227 а; рабочая тетрадь № 116, 118.