Доказать теорему сумма углов треугольника равна 180. Сумма углов треугольника. Теорема о сумме углов треугольника
Треугольник представляет собой многоугольник, имеющий три стороны (три угла). Чаще всего стороны обозначают маленькими буквами, соответствующими заглавным буквам, которыми обозначают противоположные вершины. В данной статье мы ознакомимся с видами этих геометрических фигур, теоремой, которая определяет, чему равняется сумма углов треугольника.
Виды по величине углов
Различают следующие виды многоугольника с тремя вершинами:
- остроугольный, у которого все углы острые;
- прямоугольный, имеющий один прямой угол, при его образующие, называют катетами, а сторона, которая размещена противоположно прямому углу, именуется гипотенузой;
- тупоугольный, когда один ;
- равнобедренный, у которого две стороны равные, и называются они боковыми, а третья - основанием треугольника;
- равносторонний, имеющий все три равные стороны.
Свойства
Выделяют основные свойства, которые характерны для каждого вида треугольника:
- напротив большей стороны всегда располагается больший угол, и наоборот;
- напротив равных по величине сторон находятся равные углы, и наоборот;
- у любого треугольника есть два острых угла;
- внешний угол больше по сравнению с любым внутренним углом, не смежным с ним;
- сумма каких-либо двух углов всегда меньше 180 градусов;
- внешний угол равняется сумме остальных двух углов, которые не межуют с ним.
Теорема о сумме углов треугольника
Теорема утверждает, что если сложить все углы данной геометрической фигуры, которая расположена на евклидовой плоскости, то их сумма будет составлять 180 градусов. Попробуем доказать данную теорему.
Пускай у нас есть произвольный треугольник с вершинами КМН.
Через вершину М проведем КН (еще эту прямую называют прямой Евклида). На ней отметим точку А таким образом, чтоб точки К и А были расположены с разных сторон прямой МН. Мы получаем равные углы АМН и КНМ, которые, как и внутренние, лежат накрест и образовываются секущей МН совместно с прямыми КН и МА, которые являются параллельными. Из этого следует, что сумма углов треугольника, расположенных при вершинах М и Н, равняется размеру угла КМА. Все три угла составляют сумму, которая равна сумме углов КМА и МКН. Поскольку данные углы являются внутренними односторонними относительно параллельных прямых КН и МА при секущей КМ, их сумма составляет 180 градусов. Теорема доказана.
Следствие
Из выше доказанной теоремы вытекает следующее следствие: любой треугольник имеет два острых угла. Чтобы это доказать, допустим, что данная геометрическая фигура имеет всего один острый угол. Также можно предположить, что ни один из углов не является острым. В этом случае должно быть как минимум два угла, величина которых равна или больше 90 градусов. Но тогда сумма углов будет больше, чем 180 градусов. А такого быть не может, поскольку согласно теореме сумма углов треугольника равна 180° - не больше и не меньше. Вот это и нужно было доказать.
Свойство внешних углов
Чему равна сумма углов треугольника, которые являются внешними? Ответ на этот вопрос можно получить, применив один из двух способов. Первый заключается в том, что необходимо найти сумму углов, которые взяты по одному при каждой вершине, то есть трех углов. Второй подразумевает, что нужно найти сумму всех шести углов при вершинах. Для начала разберемся с первым вариантом. Итак, треугольник содержит шесть внешних углов - при каждой вершине по два.
Каждая пара имеет равные между собой углы, поскольку они являются вертикальными:
∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.
Кроме этого, известно, что внешний угол у треугольника равняется сумме двух внутренних, которые не межуются с ним. Следовательно,
∟1 = ∟А + ∟С, ∟2 = ∟А + ∟В, ∟3 = ∟В + ∟С.
Из этого получается, что сумма внешних углов, которые взяты по одному возле каждой вершины, будет равна:
∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟А + ∟С + ∟А + ∟В + ∟В + ∟С = 2 х (∟А + ∟В + ∟С).
С учетом того, что сумма углов равняется 180 градусам, можно утверждать, что ∟А + ∟В + ∟С = 180°. А это значит, что ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 х 180° = 360°. Если же применяется второй вариант, то сумма шести углов будет, соответственно, большей в два раза. То есть сумма внешних углов треугольника будет составлять:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 х (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.
Прямоугольный треугольник
Чему равняется сумма углов прямоугольного треугольника, являющихся острыми? Ответ на этот вопрос, опять же, вытекает из теоремы, которая утверждает, что углы в треугольнике в сумме составляют 180 градусов. А звучит наше утверждение (свойство) так: в прямоугольном треугольнике острые углы в сумме дают 90 градусов. Докажем его правдивость.
Пускай нам дан треугольник КМН, у которого ∟Н = 90°. Необходимо доказать, что ∟К + ∟М = 90°.
Итак, согласно теореме о сумме углов ∟К + ∟М + ∟Н = 180°. В нашем условии сказано, что ∟Н = 90°. Вот и получается, ∟К + ∟М + 90° = 180°. То есть ∟К + ∟М = 180° - 90° = 90°. Именно это нам и следовало доказать.
В дополнение к вышеописанным свойствам прямоугольного треугольника, можно добавить и такие:
- углы, которые лежат против катетов, являются острыми;
- гипотенуза треугольна больше любого из катетов;
- сумма катетов больше гипотенузы;
- катет треугольника, который лежит напротив угла 30 градусов, в два раза меньше гипотенузы, то есть равняется ее половине.
Как еще одно свойство данной геометрической фигуры можно выделить теорему Пифагора. Она утверждает, что в треугольнике с углом 90 градусов (прямоугольном) сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы.
Сумма углов равнобедренного треугольника
Ранее мы говорили, что равнобедренным называют многоугольник с тремя вершинами, содержащий две равные стороны. Известно такое свойство данной геометрической фигуры: углы при его основании равны. Докажем это.
Возьмем треугольник КМН, который является равнобедренным, КН - его основание.
От нас требуется доказать, что ∟К = ∟Н. Итак, допустим, что МА - это биссектриса нашего треугольника КМН. Треугольник МКА с учетом первого признака равенства равен треугольнику МНА. А именно по условию дано, что КМ = НМ, МА является общей стороной, ∟1 = ∟2, поскольку МА - это биссектриса. Используя факт равенства этих двух треугольников, можно утверждать, что ∟К = ∟Н. Значит, теорема доказана.
Но нас интересует, какова сумма углов треугольника (равнобедренного). Поскольку в этом отношении у него нет своих особенностей, будем отталкиваться от теоремы, рассмотренной ранее. То есть мы можем утверждать, что ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, или 2 х ∟К + ∟М = 180° (поскольку ∟К = ∟Н). Данное свойство доказывать не будем, поскольку сама теорема о сумме углов треугольника была доказана ранее.
Кроме рассмотренных свойств об углах треугольника, имеют место и такие немаловажные утверждения:
- в которая была опущена на основание, является одновременно медианой, биссектрисой угла, который находится между равными сторонами, а также его основания;
- медианы (биссектрисы, высоты), которые проведены к боковым сторонам такой геометрической фигуры, равны.
Равносторонний треугольник
Его еще называют правильным, это тот треугольник, у которого равны все стороны. А поэтому равны также и углы. Каждый из них составляет 60 градусов. Докажем это свойство.
Допустим, что у нас есть треугольник КМН. Нам известно, что КМ = НМ = КН. А это значит, что согласно свойству углов, расположенных при основании в равнобедренном треугольнике, ∟К = ∟М = ∟Н. Поскольку согласно теореме сумма углов треугольника ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, то 3 х ∟К = 180° или ∟К = 60°, ∟М = 60°, ∟Н = 60°. Таким образом, утверждение доказано.
Как видно из выше приведенного доказательства на основании теоремы, сумма углов как и сумма углов любого другого треугольника, составляет 180 градусов. Снова доказывать эту теорему нет необходимости.
Существуют еще такие свойства, характерные для равностороннего треугольника:
- медиана, биссектриса, высота в такой геометрической фигуре совпадают, а их длина вычисляется как (а х √3) : 2;
- если описать вокруг данного многоугольника окружность, то ее радиус будет равен (а х √3) : 3;
- если вписать в равносторонний треугольник окружность, то ее радиус будет составлять (а х √3) : 6;
- площадь этой геометрической фигуры вычисляется по формуле: (а2 х √3) : 4.
Тупоугольный треугольник
Согласно определению один из его углов находится в промежутке от 90 до 180 градусов. Но учитывая то, что два остальных угла данной геометрической фигуры острые, можно сделать вывод, что они не превышают 90 градусов. Следовательно, теорема о сумме углов треугольника работает при расчете суммы углов в тупоугольном треугольнике. Получается, мы смело можем утверждать, опираясь на вышеупомянутую теорему, что сумма углов тупоугольного треугольника равна 180 градусам. Опять-таки, данная теорема не нуждается в повторном доказательстве.
“Скажи мне – и я забуду,
Покажи мне – и я запомню,
Вовлеки меня – и я научусь”
Восточная пословица
Цель: Доказать теорему о сумме углов треугольника, упражнять в решении задач, используя данную теорему, развивать познавательную деятельность учащихся, используя дополнительный материал из разных источников, воспитывать умение слушать других.
Оборудование: Транспортир, линейка, модели треугольников, полоска настроения.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент.
Отметьте на ленте настроения свое состояние на начало урока.
2. Повторение.
Повторить понятия, которые будут использованы при доказательстве теоремы: свойства углов при параллельных прямых, определение развернутого угла, градусная мера развернутого угла.
3. Новый материал.
3.1. Практическая работа.
У каждого ученика находятся три модели треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. Предлагается измерить углы треугольника и найти их сумму. Проанализировать результат. Могут получиться значения 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183 градуса. Посчитайте среднее арифметическое (=180°) Предлагается вспомнить, когда углы имеют градусную меру 180 градусов. Ученики вспоминают, что это развернутый угол и сумма односторонних углов.
Давайте попробуем получить сумму углов треугольника используя оригами.
Историческая справка
Оригами (яп., букв.: “сложенная бумага”) - древнее искусство складывания фигурок из бумаги. Искусство оригами своими корнями уходит в древний Китай, где и была открыта бумага.
3.2. Доказательство теоремы из учебника Атанасяна Л.С.
Теорема о сумме углов треугольника.
Докажем одну из важнейших теорем геометрии – теорему о сумме углов треугольника.
Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что A + B + C= 180°.
Проведем через вершину В прямую а, параллельную стороне АС. Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 - накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому угол 4 равен углу 1, угол 5 равен углу 3.
Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т. е. угол 4+угол 2+угол 5=180°. Отсюда, учитывая предыдущие равенства, получаем: угол 1 + угол 2+ угол 3= 180°, или A + B+ C=180°. Теорема доказана.
3.3. Доказательство теоремы из учебника Погорелова А. В.
Доказать: A + B + C = 180 °
Доказательство:
1. Проведем через вершину B прямую BD // AC
2. DBC=ACB, как накрест лежащие при AC//BD и секущей BC.
3. ABD =ACB +CBD
Отсюда, A + B+C = ABD+BAC
4. ABD и BAC – односторонние при BD // AC и секущей AB, значит их сумма равна 180 ° , т.е. А+B + C=180 ° , что и требовалось доказать.
3. 4. Доказательство теоремы из учебника Киселева А.Н., Рыбкина Н.А.
Дано: АВС
Доказать: А+B +C=180 °
Доказательство:
1. Продолжим сторону АС. Проведем СЕ//АВ
2. А=ЕСД, как соответственные при АВ//СЕ и АД - секущей
3. В=ВСЕ, как накрест лежащие при АВ//СЕ и ВС - секущей.
4. ЕСД+ВСЕ+С=180 ° , значит А + В + С = 180 ° , что и требовалось доказать.
3.5. Следствия 1. В любом треугольнике все углы острые, либо два угла острых, а третий тупой или прямой.
Следствие 2.
Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.
3.6. Теорема позволяет классифицировать треугольники не только по сторонам, но и по углам.
Вид треугольника | Равнобедренный | Равносторонний | Разносторонний |
прямоугольный | |||
тупоугольный | |||
остроугольный |
4. Закрепление.
4.1. Решение задач по готовым чертежам.
Найти неизвестные углы треугольника.
4.2. Проверка знаний.
1. В завершении нашего урока, ответьте на вопросы:
Существуют ли треугольники с углами:
а) 30, 60, 90 градусов,
b) 46, 4, 140 градусов,
с) 56, 46, 72 градуса?
2. Может ли в треугольнике быть:
а) два тупых угла,
b) тупой и прямой углы,
с) два прямых угла?
3. Определить вид треугольника, если один угол – 45 градусов, другой – 90 градусов.
4. В каком треугольнике сумма углов больше: в остроугольном, тупоугольном или прямоугольном?
5. Можно ли измерить углы любого треугольника?
Это вопрос-шутка, т.к. существует Бермудский треугольник, находящийся в Атлантическом океане между Бермудскими островами, государством Пуэрто-Рико и полуостровом Флорида, у которого невозможно измерить углы. (Приложение 1)
5. Итог урока.
Отметьте на ленте настроения свое состояние на конец урока.
Домашнее задание.
П. 30–31; № 223 а, б; № 227 а; рабочая тетрадь № 116, 118.
1) Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство
Пусть ABC" - произвольный треугольник. Проведем через вершину B прямую, параллельную прямой AC (такая прямая называется прямой Евклида) . Отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны прямой BC.Углы DBC и ACB равны как внутренние накрест лежащие, образованные секущей BC с параллельными прямыми AC и BD. Поэтому сумма углов треугольника при вершинах B и С равна углу ABD.Сумма всех трех углов треугольника равна сумме углов ABD и BAC. Так как эти углы внутренние односторонние для параллельных AC и BD при секущей AB, то их сумма равна 180°. Теорема доказана.
2)
Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.
Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник. По теореме о сумме углов в треугольнике
∠ ABС + ∠ BCA + ∠ CAB = 180 º.
Отсюда следует
∠ ABС + ∠ CAB = 180 º - ∠ BCA = ∠ BCD
Теорема доказана.
Из теоремы следует:
Внешний угол треугольника больше любого угла треугольника, не смежного с ним.
3)
Сумма углов треугольника = 180 градусов. Если один из углов прямой (90 градусов) на два остальных приходится тоже 90. значит, каждый из них - меньше 90 то есть они - острые. если один из углов - тупой, то на два остальных приходится менее 90 то есть они явно острые.
4)
тупоугольный - больше 90 градусов
остроугольный - меньше 90 градусов
5) а. Треугольник, у которого один из углов равен 90 градусов.
б. Катеты и гипотенуза
6)
6°. В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и обратно: против большего угла лежит большая сторона. Любой отрезок имеет одну и только одну середину.
7)
По теореме Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, значит гипотенуза больше каждого из катетов
8) --- тоже самое, что и 7
9)
сумма углов треугольника равно 180 градусов. а если бы аждая сторона треугольника была бы больше суммы двух других сторонон, то сумма углов была бы больше 180, что невозможно. следовательно - каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
10)
Сумма углов любого треугольника равна 180 градусам.
Т. к. этот треугольник прямоугольный, то один из углов у него прямой, т. е. равен 90 градусам.
Следовательно, сумма двух других острых углов равна 180-90=90 градусов.
11)
1. рассмотрим прямоугольный треугольник ABC в которм угол А - прямой, угол В = 30 градусам а угол С = 60.Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник АВD. Получим треугольни BCD в котором угол B = углу D = 60 градусов, следовательно DC = BC. Но по построению АС 1/2 ВС, что и требовалось доказать.2. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета равен 30 градусам.докажем это.рассмотрим прямоугольный треугольник АВC, у которого катет АС равен половине гипотенузы АС.Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD. Получит равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу(т.к. против равных строн лежат равные углы), поэтому каждый из них = 60 градусам. Но угол DBC = 2 угла ABC, следовательно угол АВС = 30 градусов,что и требовалось доказать.
>>Геометрия: Сумма углов треугольника. Полные уроки
ТЕМА УРОКА: Сумма углов треугольника.
Цели урока:
- Закрепление и проверка знаний учащихся по теме: «Сумма углов треугольника»;
- Доказательство свойства углов треугольника;
- Применение этого свойства при решении простейших задач;
- Использование исторического материала для развития познавательной активности учащихся;
- Привитие навыка аккуратности при построении чертежей.
Задачи урока:
- Проверить умение учащихся решать задачи.
План урока:
- Треугольник;
- Теорема о сумме углов треугольника;
- Пример задач.
Треугольник.
Файл:O.gif Треугольник
- простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
Трём точкам пространства, не лежащим на одной прямой, соответствует одна и только одна плоскость.
Любой многоугольник можно разбить на треугольники - этот процесс называется триангуляция
.
Существует раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников - Тригонометрия
.
Теорема о сумме углов треугольника.
Файл:T.gif Теорема о сумме углов треугольника - классическая теорема евклидовой геометрии, утверждает что cумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство":
Пусть дан Δ ABC. Проведем через вершину B прямую, параллельную (AC) и отметим на ней точку D так, чтобы точки A и D лежали по разные стороны от прямой BC. Тогда угол (DBC) и угол (ACB) равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BD и AC и секущей (BC). Тогда сумма углов треугольника при вершинах B и C равна углу (ABD). Но угол (ABD) и угол (BAC) при вершине A треугольника ABC являются внутренними односторонними при параллельных прямых BD и AC и секущей (AB), и их сумма равна 180°. Следовательно, сумма углов треугольника равна 180°. Теорема доказана.
Следствия.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
Доказательство:
Пусть дан Δ ABC. Точка D лежит на прямой AC так, что A лежит между C и D. Тогда BAD – внешний к углу треугольника при вершине A и A + BAD = 180°. Но A + B + C = 180°, и, следовательно, B + C = 180° – A. Отсюда BAD = B + C. Следствие доказано.
Следствия.
Внешний угол треугольника больше любого угла треугольника, не смежного с ним.
Задача.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
(Рис.1)
Решение:
Пусть в Δ АВС ∠DАС – внешний (Рис.1). Тогда ∠DАС=180°-∠ВАС (по свойству смежных углов), по теореме о сумме углов треугольника ∠В+∠С =180°-∠ВАС. Из этих равенств получим ∠DАС=∠В+∠С
Интересный факт:
Сумма углов треугольника":
В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180. В геометрии Эвклида она всегда равна 180 . В геометрии Римана сумма углов треугольника всегда больше 180.
Из истории математики:
Евклид (III в до н.э) в труде «Начала» приводит такое определение: «Параллельные суть прямые, которые находятся в одной плоскости и, будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются».
Посидоний (I в до н.э) «Две прямые, лежащие в одной плоскости, равноотстоящие друг от друга»
Древнегреческий учёный Папп (III в до н.э) ввёл символ параллельных прямых- знак =. Впоследствии английский экономист Рикардо (1720-1823) этот символ использовал как знак равенства.
Только в XVIII веке стали использовать символ параллельности прямых - знак ||.
Ни на миг не прерывается живая связь между поколениями, ежедневно мы усваиваем опыт, накопленный нашими предками. Древние греки на основе наблюдений и из практического опыта делали выводы, высказывали гипотезы, а затем, на встречах учёных – симпозиумах (буквально « пиршество») – эти гипотезы пытались обосновать и доказать. В то время и сложилось утверждение: « В споре рождается истина».
Вопросы:
- Что такое треугольник?
- Что гласит теорема о сумме углов треугольника?
- Чему равен внешний угол треугольника?