Что таоке пропорция. Составить пропорцию

Для решения большинства задач в математике средней школы необходимо знание по составлению пропорций. Это несложное умение поможет не только выполнять сложные упражнения из учебника, но и углубиться в саму суть математической науки. Как составить пропорцию? Сейчас разберем.

Самым простым примером является задача, где известны три параметра, а четвертый необходимо найти. Пропорции бывают, конечно, разные, но часто требуется найти по процентам какое-нибудь число. Например, всего у мальчика было десять яблок. Четвертую часть он подарил своей маме. Сколько осталось яблок у мальчика? Это самый простой пример, который позволит составить пропорцию. Главное это сделать. Изначально было десять яблок. Пусть это 100%. Это мы обозначили все его яблоки. Он отдал одну четвертую часть. 1/4=25/100. Значит, у него осталось: 100% (было изначально) - 25% (он отдал) = 75%. Эта цифра показывает процентное отношение количества оставшихся фруктов к количеству имевшихся сначала. Теперь у нас есть три числа, по которым уже можно решить пропорцию. 10 яблок - 100%, х яблок - 75%, где х - искомое количество фруктов. Как составить пропорцию? Необходимо понимать, что это такое. Математически это выглядит так. Знак равно поставлен для вашего понимания.

10 яблок = 100%;

x яблок = 75%.

Оказывается, что 10/x = 100%/75. Это и есть основное свойство пропорций. Ведь чем больше x, тем больше процентов составляет это число от исходного. Решаем эту пропорцию и получаем, что x=7,5 яблок. Почему мальчик решил отдать нецелое количество, нам неизвестно. Теперь вы знаете, как составить пропорцию. Главное, найти два соотношения, в одном из которых есть искомое неизвестное.

Решение пропорции часто сводится к простому умножению, а потом к делению. В школах детям не объясняют, почему это именно так. Хотя важно понимать, что пропорциональные отношения есть математическая классика, сама суть науки. Для решения пропорций необходимо уметь обращаться с дробями. Например, часто приходится переводить проценты в обыкновенные дроби. То есть запись 95% не подойдет. А если сразу написать 95/100, то можно провести солидные сокращения, не начиная основного подсчета. Сразу стоит сказать, что если ваша пропорция получилась с двумя неизвестными, то ее не решить. Никакой профессор вам здесь не поможет. А ваша задача, скорее всего, имеет более сложный алгоритм правильных действий.

Рассмотрим еще один пример, где нет процентов. Автомобилист купил 5 литров бензина за 150 рублей. Он подумал о том, сколько он бы заплатил за 30 литров топлива. Для решения этой задачи обозначим за x искомое количество денег. Можете самостоятельно решить эту задачу и потом проверить ответ. Если вы еще не поняли, как составить пропорцию, то смотрите. 5 литров бензина - это 150 рублей. Как и в первом примере, запишем 5л - 150р. Теперь найдем третье число. Конечно, это 30 литров. Согласитесь, что пара 30 л - х рублей уместна в данной ситуации. Перейдем на математический язык.

5 литров - 150 рублей;

30 литров - х рублей;

Решаем эту пропорцию:

x = 900 рублей.

Вот и решили. В своей задаче не забудьте проверить на адекватность ответ. Бывает, что при неправильном решении автомобили достигают нереальных скоростей в 5000 километров в час и так далее. Теперь вы знаете, как составить пропорцию. Также вы сможете ее решить. Как видите, в этом нет ничего сложного.

Составить пропорцию. В этой статье хочу поговорить с вами о пропорции. Понимать, что такое пропорция, уметь составлять её – это очень важно, она действительно спасает. Это вроде бы маленькая и незначительная «буковка» в большом алфавите математики, но без неё математика обречена быть хромой и неполноценной. Для начала напомню, что такое пропорция. Это равенство вида:

что тоже самое (это разная форма записи).

Пример:

Говорят – один относится к двум также, как четыре относится к восьми. То есть это равенство двух отношений (в данном примере отношения числовые).

Основное правило пропорции:

a:b=c:d

произведение крайних членов равно произведению средних

то есть

a∙d=b∙c

*Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее всегда можно найти.

Если рассматривать форму записи вида:

то можно использовать следующее правило, его называют «правило креста»: записывается равенство произведений элементов (чисел или выражений) стоящих по диагонали

a∙d=b∙c

Как видите результат тот же.

Если три элемента пропорции известны, то мы всегда можем найти четвёртый.

Именно в этом суть пользы и необходимость пропорции при решении задач.

Давайте рассмотрим все варианты, где неизвестная величина х находится в «любом месте» пропорции, где a, b, c – числа:

Величина стоящая по диагонали от х записывается в знаменатель дроби, а известные величины стоящие по диагонали записываются в числитель, как произведение. Его запоминать не обязательно, вы и так всё верно вычислите, если усвоили основное правило пропорции.

Теперь главный вопрос, связанный с названием статьи. Когда пропорция спасает и где используется? Например:

1. Прежде всего это задачи на проценты. Мы рассматривали их в статьях " " и " ".

2. Многие формулы заданы в виде пропорций:

> теорема синусов

> отношение элементов в треугольнике

> теорема тангенсов

> теорема Фалеса и другие.

3. В задачах по геометрии в условии часто задаётся отношение сторон (других элементов) или площадей, например 1:2, 2:3 и прочие.

4. Перевод единиц измерения, причём пропорция используется для перевода единиц как в одной мере, так и для перевода из одной меры в другую:

— часы в минуты (и наоборот).

— единицы объёма, площади.

— длины, например мили в километры (и наоборот).

— градусы в радианы (и наоборот).

здесь без составления пропорции не обойтись.

Ключевой момент в том, что нужно правильно установить соответствие, рассмотрим простые примеры:

Необходимо определить число, которое составляет 35% от 700.

В задачах на проценты за 100% принимается та величина, с которой сравниваем. Неизвестное число обозначим как х. Установим соответствие:

Можно сказать, что семисот тридцати пяти соответствует 100 процентов.

Иксу соответствует 35 процентов. Значит,

700 – 100%

х – 35 %

Решаем

Ответ: 245

Переведём 50 минут в часы.

Мы знаем, что одному часу соответствует 60 минут. Обозначим соответсвие - x часов это 50 минут. Значит

1 – 60

х – 50

Решаем:

То есть 50 минут это пять шестых часа.

Ответ: 5/6

Николай Петрович проехал 3 километра. Сколько это будет в милях (учесть, что 1 миля это 1,6 км)?

Известно, что 1 миля это 1,6 километра. Число миль, которые проехал Николай Петрович примем за х. Можем установить соответствие:

Одной миле соответствует 1,6 километра.

Икс миль это три километра.

1 – 1,6

х – 3

Ответ: 1,875 миль

Вы знаете, что для перевода градусов в радианы (и обратно) существуют формулы. Я их не записываю, так как запоминать их считаю излишним, и так вам в памяти приходится держать много информации. Вы всегда сможете перевести градусы в радианы (и обратно), если воспользуетесь пропорцией.

Переведём 65 градусов в радианную меру.

Главное это запомнить, что 180 градусов это Пи радиан.

Обозначим искомую величину как х. Устанавливаем соответствие.

Ста восьмидесяти градусам соответствует Пи радиан.

Шестидесяти пяти градусам соответствует х радиан. изучить статью по этой теме на блоге. Материал в ней изложен несколько по иному, но принцип тот же. На этом закончу. Обязательно будет ещё что-нибудь интересненькое, не пропустите!

Если вспомнить само определение математики, то в нём есть такие слова: математика изучает количественные ОТНОШЕНИЯ (ОТНОШЕНИЯ - здесь ключевое слово). Как видите в самом определении математики заложена пропорция. Вообщем, математика без пропорции это не математика!!!

Всего доброго!

С уважением, Александр

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Форма урока: Урок-исследование.

Цели урока:

• активизировать познавательную деятельность учащихся;
• познакомить учащихся с понятиями: пропорция, члены пропорции; верная и неверная пропорции;
• познакомить учащихся с основным свойством пропорции и сформировать навык по определению верной пропорции.

Оборудование:

В маршрутных листах указаны баллы, которые можно получить за решение заданий. При выставлении баллов учащийся учитывает правильность своего решения, скорость решения (самопроверка и взаимопроверка с помощью презентации). В строке “Дополнительные баллы” выставляются баллы за ответы на дополнительные вопросы, за помощь учителю в организации проверки других учащихся, а также за “отгадывание” темы урока.

Карточки разрезаются и в конвертах раздаются учащимся (один конверт на парту).

3. Карточки для магнитной доски (рисунок 1, рисунок 2, рисунок 3)

В ходе урока данные карточки вывешиваются на магнитную доску.

4. Ребусы (рисунок 4, рисунок 5, рисунок 6, рисунок 7).

Ребусы, составленные учащимися старших классов (кроме ребуса “Пропорция” - этот ребус взят из урока, представленного на ФПИ учителем Козак Татьяной Ивановной, МОУ СОШ №20 пгт Прогресс Амурской области) расположены на доске, учащимся предлагается разгадать их после урока.

Техническое оснащение урока – компьютер, проектор для демонстрации презентации, экран. Компьютерная презентация в Microsoft PowerPoint (приложение 4).

I. Организация начала урока

Здравствуйте! Проверьте, пожалуйста, наличие раздаточного материала у вас на парте, наличие красного и синего карандаша, а также свою готовность к уроку.

II. Сообщение темы, цели и задач урока.

Сегодня на уроке мы продолжаем изучение большого раздела курса математики. Мы закончили изучение темы (какой? - “Отношение” ). Теперь мы приступаем к изучению новой темы в этом разделе. А узнать тему урока нам помогут несколько примеров. На титульном листе вашего маршрутного листа вам необходимо заполнить таблицу, устно решив примеры и, тогда, вы узнаете тему сегодняшнего урока. СЛАЙД 1

Итак, тема сегодняшнего урока Пропорция . СЛАЙД 2

Зная тему урока, попробуйте составить план урока. Что вы должны узнать сегодня на уроке? Что вы хотите узнать? Чему хотите научиться на уроке?

Составим план, который будем дополнять по ходу урока. (учащиеся называют два первых и два последних пункта плана, остальные заполняются в течение урока, по мере “открытия” новых знаний; план урока записывается на доске)

- повторение (вопросы, связанные с отношением)

Определение пропорции

ЧЛЕНЫ ПРОПОРЦИИ

ВЕРНЫЕ и НЕВЕРНЫЕ ПРОПОРЦИИ

ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПРОПОРЦИИ

Применение в математике

Применение в жизни

Два последних пункта мы сможем разобрать на следующих уроках, по ходу изучения темы.

III. Актуализация знаний учащихся. Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока.

Обсудите вопросы, связанные с темой “Отношение”, с соседом по парте.

Кто готов задать вопросы, связанные с прошлой темой? (блицопрос) МР1

- Что такое отношение?

Как можно записать отношение?

На какие вопросы отвечает отношение?

Как можно записать отношение двух чисел?

Чем можно заменить знак делания?

Как вы думаете, зачем мы повторили эти понятия?

Они помогут нам при изучении новой темы.

Возьмите конверты и составьте отношения а к b и c к d двумя способами. (всего 4 отношения) РАБОТА В ПАРАХ.

МР2 Перед вами несколько отношений. Найдите значение этих выражений. СЛАЙД 3

4: 0,5=
=
5: 10 =
=
8: 1 =
2,5: 5 =

Сгруппируйте отношения по определенному признаку и составьте соответствующие равенства.

IV. Усвоение новых знаний.

4: 0,5 = 8: 1

=

5: 10 = 2,5: 5

По какому признаку вы сгруппировали данные отношения?

- Их значения равны.

Полученные равенства называются пропорцией.

Подумайте и дайте определение пропорции.

ПОДСКАЗКА – пропорция – это … НА ЭКРАНЕ (равенство )

Равенство …ЧЕГО (отношений )

Скольких отношений? (двух ).

Кто уверен в своем мнении, запишите определение в маршрутный лист. МР3

Кто готов выйти к доске и составить определение пропорции? (приложение 3)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (на магнитной доске): Пропорция – равенство двух отношений.

Посмотрим на толкование слова пропорция в словаре русского языка Ожегова С.И. СЛАЙД 4 : “Пропорция - определенное соотношение частей между собой, соразмерность. В математике – равенство двух отношений”.

Вы сформулировали определение пропорции также как в словаре русского языка!

Подумайте, с каким математическим термином созвучно слово “пропорция”? (проценты ). Как переводится термин “процент”? (от ста ). Значит, “про” переводится как “от”. Какая часть слова осталась? (“порция ”). Где вы встречались с этим словом? (в кулинарии) Что оно означает? (размер)

Слово пропорция произошло от латинского слова proportio – соразмерность. (этимологический словарь). СЛАЙД 4

Используя определение пропорции, составьте пропорции, используя знак деления и дробную черту. (РАБОТА В ПАРАХ, конверты).

В маршрутных листах запишите пропорцию, используя буквы a,b,c,d. МР4

А сейчас мы узнаем, как называются числа, из которых состоит пропорция.

Числа a, b, c, d называются членами пропорции

Назовите первый и последний член пропорции? (а и с )

А как обычно (в жизни) называют первого и последнего? (крайние)

Значит, члены a и b называются …? (крайними)

А где находятся члены с и d? (в середине)

И как называются члены с и d? (средними)

Красным цветом выделим какие члены? (к райние )

цветом (с редние) члены.

средние члены

Вернемся к плану урока – есть чем его дополнить? (крайние и средние члены пропорции)

V. Первичное закрепление знаний

МР5 Заполните таблицу:

Какой вывод можно сделать? Запишите вывод в маршрутном листе. (В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних) СЛАЙД 8

МР6 Перед вами пять равенств. Все ли они являются пропорциями?

Подчеркните пропорции.

= ; 7 + 11 = 36: 2; 72: 9 = 16: 2; = 20: 4; 5 40 = 100 2

СЛАЙД 7 Встаньте, кто закончил.

Все уверены в том, что здесь три пропорции? Ведь в последнем равенстве произведение крайних членов не равно произведению средних. Вернемся к определению пропорции (Пропорция – равенство двух отношений ). Третье равенство является равенством двух отношений? (является). По определению это пропорция? (да) . А произведение крайних членов равно произведению средних? (нет) . Значит, это пропорция…? (неправильная). Такая пропорция называется неверной. Значит, бывают пропорции неверные и …? (верные). Сформулируйте основное свойство пропорции, используя полученные знания. (В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних).

VI. Закрепление знаний.

Заполните с таблицу.

Верная пропорция Неверная пропорция

=

= 20: 4

А как еще можно определить верная пропорция или неверная? (найти значение отношений)

В дальнейшем мы будет говорить о верных пропорциях.

Вернемся к плану урока. Что можно добавить? (пропорции верные и неверные)

МР7 Используя буквы В и Н отметьте верные и неверные пропорции.

=		1: 0,5 = 4,8: 2,4
7,5: 5 = 2: 3		=
10: 3 = 3 : 1		5: х = 20: 4х

VII. Обобщение и систематизация.

МР8 Используя основное свойство пропорции, составьте верную пропорцию из следующих чисел: 4, 5, 12, 15. Сколько верных пропорций можно составить?

VIII. Контроль и самопроверка знаний

МР9 Математический диктант

1. Запишите пропорцию: Число 18 так относится к 4, как 27 относится к 6.
2. Запишите пропорцию: Отношение трех к пяти равно отношению двух к семи.
3. Запишите средние члены пропорции: 1,5: 2 = 4,5: 6
4. Запишите крайние члены пропорции: 2/1,9 = 3/2,8
5. Верна ли пропорция в п.3
6. Верна ли пропорция в п.4
7. Верно ли высказывание: Корень уравнения 20/5 = х/0,5 число 2
8. Верно ли высказывание: Из любых четырех натуральных чисел можно составить пропорцию?

СЛАЙД 10. Взаимопроверка

IX. Подведение итогов урока.

Обратитесь к плану урока.

Что вы узнали сегодня на уроке? (что такое пропорция, из чего состоит пропорция, пропорции бывают верными и неверными, основное свойство пропорции, …)

Чему вы научились сегодня на уроке? (определять крайние и средние члены пропорции, выяснять является пропорция верной или неверной, …)

Какие еще вопросы можно задать по итогам урока?

- Сколько верных пропорций можно составить из данной верной пропорции?

Как можно определить является пропорция верной или неверной?

Вспомним последнее задание математического диктанта.

Из любых четырех натуральных чисел можно составить пропорцию. Правильный ответ ДА. Составить пропорцию можно, но она не обязательно будет верной.

Из фразы “Из любых четырех натуральных чисел можно составить пропорцию” исключите одно слово, чтобы это высказывание стало неверным. (натуральных) . Почему? (Число 0 не может являться членом пропорции) . Из любых четырех чисел можно составить пропорцию

В данную фразу “Из любых четырех натуральных чисел можно составить пропорцию” вставьте одно слово, чтобы высказывание стало неверным (верную). Из любых четырех натуральных чисел можно составить верную пропорцию.

Подсчитайте количество баллов, которые вы заработали на уроке и выставите оценку.

X. Информация о домашнем задании и инструктаж по его выполнению

Математика – 6, Виленкин Н.Я. и др. 6-е издание

П.21, №№ 760, 781, 782, 783 (а)

Отношением числа x к числу у называется частное чисел и, т.е. у/ х или х: у. Отношение показывает, во сколько раз х больше у, или какую часть числа у составляет число х. Пропорцией называется равенство двух отношений, т.е. a / b = x / y . Числа а и у называются крайними членами, а числа х и b – средними членами пропорции.

Свойства пропорции

(основное): произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов, т.е. если a / b = x / y , то ay = bx .

Обратно, числа a , b , x , y составляют пропорцию a/b = x/y, если ay = bx .

Если в пропорции поменять местами крайние, средние члены или те и другие одновременно, то получим верную пропорцию.

Чтобы найти неизвестный средний (или крайний) член пропорции, надо произведение крайних (средних) членов разделить на известный средний (крайний) член пропорции

Деление числа на части, прямо и обратно пропорциональные данным числам

Чтобы разделить число пропорционально данным числам (разделить в данном отношении) надо разделить это число на сумму данных чисел и результат умножить на каждое из них.

Чтобы разделить число на части, обратно пропорциональные данным числам, достаточно разделить это число на части прямо пропорциональные числам, обратным данным.

Например, разделим 27 обратно пропорционально числам 4 и 5. Числа, обратные данным относятся, как (1/4) : (1/5) = 5: 4; тогда получим

Процентом называется сотая часть какого-либо числа. Процент обозначается знаком %.

Если данное число принять за 1, то 1% составляет 0,01 этого числа, 25% – 0,25 числа (или 1/4 числа) и т.д. Таким образом, чтобы число процентов представить в виде дроби, достаточно число процентов разделить на 100. Например, 125% = 1,25; 2,3% = 0,023.

Основные задачи на проценты

Нахождение процентов данного числа.

Чтобы найти а % от числа b нужно проценты выразить в виде дроби: a /100 и число b умножить на эту дробь.

Например, 30% от 60 руб. составляют 0,3 60 = 18 (руб.).

Нахождение числа по его процентам.

Если известно, что a % числа x равно b , то число x находим по формуле. Т.е. нужно проценты выразить в виде дроби и известное число b разделить на эту дробь.

Например, если 3% денежного вклада составляют 150 руб., то весь вклад равен 150/0,03 = 5000 (руб.).

Нахождение процентного отношения чисел.

Чтобы найти процентное отношение двух чисел a и b надо отношение этих чисел умножить на 100, т.е. вычислить.

Например, если при плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 90 авт., то он выполнил задание на

(90/60) 100% = 150%.

“Отец комедии” Аристофан Древнегреческий Несколько раз в своих комедиях Аристофан обращается к такому нелицеприятному явлению, как доносчики. Вот например для Никарха, героя “Ахарнян...

Тема любви в русском романе (По романам «Обломов», «Отцы и дети», «Война и мир»)... Тема любовных страданий в наибольшей степени связана с главным героем «Отцов и детей» Евгением Базаровым. Его чувство - это тяжелая, всепоглощающая ст...

Основные свойства пропорций

• Обращение пропорции. Если a : b = c : d , то b : a = d : c
• Перемножение членов пропорции крест-накрест. Если a : b = c : d , то ad = bc .
• Перестановка средних и крайних членов. Если a : b = c : d , то

a : c = b : d (перестановка средних членов пропорции), d : b = c : a (перестановка крайних членов пропорции).

• Увеличение и уменьшение пропорции. Если a : b = c : d , то

(a + b ) : b = (c + d ) : d (увеличение пропорции), (a – b ) : b = (c – d ) : d (уменьшение пропорции).

• Составление пропорции сложением и вычитанием. Если a : b = c : d , то

(a + с ) : (b + d ) = a : b = c : d (составление пропорции сложением), (a – с ) : (b – d ) = a : b = c : d (составление пропорции вычитанием).

Составные (непрерывные) пропорции

Историческая справка

Литература

• ван дер Варден, Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. - пер. с голл. И. Н. Веселовского - М.: ГИФМЛ, 1959

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Синонимы :

Смотреть что такое "Пропорция" в других словарях:

- (лат., от pro для, и portio часть, порция). 1) соразмерность, согласование. 2) отношение частей между собою и к их целому. Отношение величин между собою. 3) в архитектуре: удачные размеры. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского… … Словарь иностранных слов русского языка

ПРОПОРЦИЯ, пропорции, жен. (книжн.) (лат. proportio). 1. Соразмерность, определенное соотношение частей между собой. Правильные пропорции частей тела. Смешать сахар с желтком в такой пропорции: две ложки сахара на один желток. 2. Равенство двух… … Толковый словарь Ушакова

Отношение, соотношение; соразмерность. Ant. диспропорция Словарь русских синонимов. пропорция см. соотношение Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. М.: Русский язык. З. Е. Александрова … Словарь синонимов

Жен., франц. соразмерность; величина или количество, отвечающее чему либо; | мат. равенство содержания, одинаковые отношения двойной четы цифры; арифметическая, если второе число на столько же более или менее, первого, на сколько четвертое против … Толковый словарь Даля

- (лат. proportio) в математике равенство между двумя отношениями четырех величин: a/b =c/d … Большой Энциклопедический словарь

ПРОПОРЦИЯ, в математике равенство между двумя отношениями четырех величин: a/b=с/d. Непрерывной пропорцией называют группу из трех или более величин, каждая из которых имеет одно и то же отношение к последующей величине, как, например, в… … Научно-технический энциклопедический словарь

ПРОПОРЦИЯ, и, жен. 1. В математике: равенство двух отношений (в 3 знач.). 2. Определённое соотношение частей между собой, соразмерность. П. в частях здания. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

Англ. proportion; нем. Proportion. 1. Соразмерность, определенное соотношение частей целого между собой. 2. Равенство двух отношений. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 … Энциклопедия социологии

пропорция - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN ratedegreeDdegdrratio … Справочник технического переводчика

ПРОПОРЦИЯ - равенство двух (см.), т.е. а: b = с: d, где а, b, с, d члены пропорции, причём а и d крайние, b и с средине. Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних: ad = bс … Большая политехническая энциклопедия